Kmitavý pohyb I

Kmitavý pohyb

• Kmitavý pohyb je základní typ pohybu, pro který je charakteristické, že kmitající těleso při pohybu zůstává stále v okolí určitého bodu, označovaného jako rovnovážná poloha
• Je to pohyb nerovnoměrný
• Jestliže těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou, koná periodický kmitavý pohyb
• Kmitání – těleso kmitá kolem rovnovážné polohy (nemusí se opakovat)

• Periodický pohyb – těleso kmitá kolem rovnovážné polohy opakovaně

• Harmonický pohyb – časový diagram je sinusoida nebo kosinusoida

Frekvence, perioda

• Periodicky se opakující část kmitavého pohybu nazýváme kmit.
• Kmit charakterizují dvě veličiny:

Perioda (doba kmitu)

• doba, za kterou proběhne jeden kmit a oscilátor dospěje do stejné polohy jako v počátečním okamžiku
• [T] = s

Frekvence (kmitočet)

• je roven počtu kmitů za jednu sekundu, je tedy převrácenou hodnotou periody:

f = 1/T

• [f] = Hz (hertz)

Oscilátory

• Zařízení, které volně (bez vnějšího působení) kmitá, je mechanický oscilátor
• např. kyvadlo, pružinový oscilátor, struna, srdce, …

Harmonický kmitavý pohyb

• pohyb přímočarý, časovým diagramem sinusoida
• Při pohybu mechanického oscilátoru se okamžitá výchylka y periodicky mění a vzhledem k rovnovážné poloze nabývá kladných i záporných hodnot
• V určitém čase dosahuje y největší kladné nebo záporné hodnoty, absolutní hodnota největší výchylky je amplituda výchylky ym
• Harmonickému kmitavému pohybu odpovídá průmět pohybu rovnoměrného po kružnici do svislé polohy.

• Pro výchylku harmonického pohybu tělesa, které se v počátečním okamžiku nachází v rovnovážné poloze, platí vztah:

y = ym ∙ sinωt y = r ∙ sinωt

y = r ∙ sinφ x = r ∙ cosωt

y…okamžitá výchylka v čase t [m]

ym…maximální výchylka (amplituda) [m]

ω…úhlová rychlost (frekvence) [rad∙s-1]

ω = 2πf

t…čas [s]

φ = ωt … fáze kmitavého pohybu [rad]

Kinematika harmonického pohybu

• vztah pro v a a lze odvodit první a druhou derivací y (podle t)

Fáze kmitavého pohybu

• Dosud jen harmonické kmitání, při němž bylo kmitající těleso v počátečním okamžiku v rovnovážné poloze

• V praxi potřebujeme zapsat i rovnici harmonického kmitání v případě, že těleso je v počátečním okamžiku v jiné poloze, popř. chceme popsat kmitání dvou oscilátorů, které nekmitají synchronně

  φ = ωt

• Veličina φ0 je počáteční fáze kmitavého pohybu. Určuje výchylku, popř. jinou veličinu harm. kmitání v počátečním okamžiku t0. Obvykle vyjadřuje fázový rozdíl těchto veličin.

• Pro okamžitou výchylku platí vztah:

  y = ym ∙ sin(ωt + φ0)

  φ0 = ωt0

• Fázový rozdíl dvou harmonických veličin o stejné frekvenci je určen rozdílem jejich počátečních fází.
• Δφ = (ωt + φ02) – (ωt + φ01) = φ02 - φ01

Např. z obrázku nahoře:

y1 = ymsin(ωt + π/6)

y2 = ymsin(ωt - π/6)

Δφ = (ωt - π/6) – (ωt + π/6) = - π/3

• tzn. že kmitání s výchylkou y2 je vzhledem ke kmitání s výchylkou y1 fázově posunuto o úhel - π/3

Dynamika kmitavého pohybu

• Příčinou kmitavého pohybu je buď síla pružnosti, nebo tíhová síla.

• Zrychlení: a = - ω2y 2 NPZ: F = ma

• Síla, která způsobuje harm. kmitání:

  F = - myω2 - pohybová rce mechanického oscilátoru

  F = - ky - pro pružná tělesa

• k – tuhost pružiny (o jakou délku se pružina prodlouží, pokud na ni působí vnější síla)

• [k] = Nm-1 př. k = 10Nm-1 – při působení 10N se pružina prodlouží o 1m

• Síla pružnosti: FP = kΔl

• Tuhost pružiny: k = FP/ Δl

• Nezatížená pružina má délku l0. Po zavěšení tělesa o hmotnosti m a jeho ustálení se pružina prodlouží působením tíhové síly FG na délku l = l0 + Δl. V rovnovážné poloze působí na těleso oscilátoru síla pružnosti FP, která má stejnou velikost jako tíhová síla FG = mg, ale opačný směr. Je tedy kΔl – mg = 0.

• Když oscilátor uvedeme do kmitavého pohybu, síla pružnosti se mění, zatím co tíhová síla zůstává stálá. Na oscilátor působí výsledná síla:

F = FP+ FG = k(Δl – y) – mg = -ky (vektorový součet)

F = - ky

F = - myω2 → - ky = - myω2 → ω2 = k/m

• Z toho plyne: Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí jen na jeho parametrech, tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k pružiny. Takové kmitání nazýváme vlastní kmitání oscilátoru a jeho vlastí úhlovou frekvenci značíme ω0:

  = perioda vlastního kmitání = frekvence vlastního kmitání

Fázorový diagram

• Souvislost kmitavého pohybu s pohybem rovnoměrným po kružnici se využívá k symbolickému znázornění veličin kmitavého pohybu, popř. i jiných periodických dějů (např. elektrických). Veličina je symbolicky znázorněna vektorem Y, jehož délka je úměrná amplitudě veličiny ym a poloha vektoru v pravoúhlé souřadnicové soustavě (Kartézská - Oxy) je určena počáteční fází veličiny φ0 . Na rozdíl od skutečných vektorů používáme pro toto symbolické znázornění veličin kmitavých dějů termín fázor (=myšlený vektor). Grafické znázornění veličin kmitavého pohybu pomocí fázorů označujeme jako fázorový diagram.
• zkrátka soustava s osami x a y