STR · MATURITKA

Relativistická hmotnost

Na rozdíl od klasické mechaniky, kde je hmotnost neměnná, Einstein dokázal, že při rychlostech blízkých rychlosti světla se hmotnost tělesa s jeho rostoucí rychlostí zvyšuje, a to podle vztahu:

$m = \sqrt 1 - c 2 v 2 m 0 $

kde $m$ … relativistická hmotnost, $m 0 $ … klidová hmotnost
Pro relativistickou hmotnost platí zákon zachování hmotnosti: Úhrnná relativistická hmotnost izolované soustavy těles zůstává při všech dějích probíhajících v této soustavě konstantní.

Závislost relativistické hmotnosti tělesa na jeho rychlosti vzhledem k dané inerciální vztažné soustavě

V klasické mechanice: $p ⃗ = m 0 v ⃗$
Pro rychlosti mnohem menší než rychlost světla platí zákon zachování hybnosti: Celková hybnost izolované soustavy těles zůstává u všech dějů probíhajících uvnitř soustavy konstantní.
V relativistické mechanice je nahrazena klidová hmotnost relativistickou, tudíž platí:

$p ⃗ = m v ⃗ = \sqrt 1 - c 2 v 2 m 0 v ⃗ $

Podle klasické mechaniky není mezi energií tělesa E a jeho setrvačnou hmotností m0 žádný vztah.
Einstein však dokázal, že se při každé změně celkové energie soustavy změní také její hmotnost, a to podle vztahu:

$Δ E = Δ m \cdot c 2$
Platí také rovnice:

$E = m \cdot c 2$

Einsteinův vztah mezi energií a hmotností

Vztah $E = mc 2$ je nejvýznamnější výsledek speciální teorie relativity. Je využíván při jaderných reakcích, a to jak v reaktorech elektráren, tak při vývoji atomových a termonukleárních bomb a při jejich testech i experimentálně ověřen.
Pro celkovou energii soustavy platí zákon zachování energie: Celková energie izolované soustavy zůstává při všech dějích probíhajících uvnitř soustavy konstantní.

Hmotnostní defekt – rozdíl mezi součtem klidových hmotností volných nukleonů a z nich složeného atomového jádra. Hmotnostní úbytek $Δ m$ odpovídá vazebné energii jádra $E = Δ m \cdot c 2$ .
Největší hmotnostní úbytek na 1 nukleon mají jádra s nukleonovým číslem okolo 60. Z toho vyplývá možnost uvolnění jaderné energie buď při štěpení těžkých jader, nebo při slučování lehkých jader.

$B = Z \cdot m p + (A - Z) \cdot m n - m j $

kde $m p $ … hmotnost protonu, $m n $ … hmotnost neutronu, $m j $ … hmotnost jádra

Protože se snáze měří hmotnosti atomů, přičteme k protonům i k jádru $Z$ elektronů:

$B = Z (m p + m e ) + (A - Z) m n - (m j + Z m e )$

$B = Z \cdot m H + (A - Z) \cdot m n - m at $

$B = [Z \cdot A r (H) + (A - Z) \cdot A r (n) - A r (X)] \cdot u$

kde $A r (H)$ , $A r (n)$ , $A r (X)$ jsou relativní atomové hmotnosti vodíku, neutronu a neutrálního atomu s čísly $Z$ a $A$ , a $u$ je atomová hmotnostní jednotka:

$u = 1, 66 \cdot 10 -27 k g$

hodnoty hmotnostního schodku jsou pro všechny nuklidy kladné
při vzniku jádra z volných nukleonů působí mezi nimi přitažlivé jaderné síly ⇒ konají při přibližování práci, která se projeví úbytkem celkové energie soustavy nukleonů
při rozkladu jádra na jednotlivé nukleony dodáváme stejnou energii, jako při syntéze

tzv. vazební energie jádra
Celková energie jádra je menší o vazebnou energii než celková energie všech jeho nukleonů po uvolnění z jádra
dle Einsteinova vztahu:

$B j = c 2 E j $

Závislost průměrné vazební energie na počtu nukleonů

Závislost hmotnostního schodku na počtu nukleonů