Stavová rovnice ideálního plynu

Ideální plyn

• nahrazujeme jím reálný plyn

Tři předpoklady molekul ideálního plynu:

1. Rozměry molekul ideálního plynu jsou zanedbatelně malé ve srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe.
2. Molekuly ideálního plynu na sebe navzájem silově nepůsobí kromě vzájemných srážek
3. Vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky těchto molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné.

• Vnitřní energie ideálního plynu s jednoatomovými molekulami se rovná součtu kinetických energií jeho molekul pohybujících se neuspořádaným posuvným pohybem
• Vnitřní energie ideálního plynu s víceatomovými molekulami zahrnuje kromě toho ještě energii molekul konajících rotační pohyb a energii kmitajících atomů v molekulách
• Skutečné plyny se svými vlastnostmi přibližují vlastnostem ideálního plynu, jestliže mají dostatečně vysokou teplotu a nízký tlak

Rozdělení molekul ideálního plynu podle rychlosti

• Rozdělení molekul plynu podle rychlostí matematicky odvodil anglický fyzik J. C. Maxwell. Pomocí tzv. Lammertova pokusu bylo zjištěno, že rychlosti molekul jsou různé.

1. Tabulkou (pro daný počet molekul)

(v, v + ∆v) / m.s-1 … zvolené intervaly rychlosti

∆N/N … střední relativní četnost molekul

2. Histogramem

• Nahodilými srážkami mohou molekuly plynů vzduchu získat i větší rychlost, než je úniková rychlost v gravitačním poli Země a uniknou tak ze zemské atmosféry, jejich počet je ale tak malý, že Země svoji atmosféru prakticky neztrácí

Střední kvadratická rychlost

• Okamžitá rychlost molekul plynu je náhodná veličina, proto se také mění kinetická energie posuvného pohybu jednotlivých molekul
• Srážky jsou pružné, proto je vnitřní kinetická energie Ek konstantní
• Na každou molekulu plynu připadá střední kinetická energie Ek/N, kde N je počet molekul
• Zavádíme pojem střední kvadratická rychlost, značíme ji vk a je to statistická veličina, která vyjadřuje rychlost, jíž by se měly pohybovat všechny molekuly při nezměněné celkové vnitřní kinetické energii soustavy, vypočítáme ji ze vzorce:

vk​=√m0​3kT​​

• Boltzmannova konstanta k≈ 1,38·10-23 J·K-1·mol-1, T termodynamická teplota plynu a m0 hmotnost jedné molekuly

Střední kinetická energie molekuly plynu

• Ze vztahu pro střední kvadratickou rychlost vyplývá, že molekula ideálního plynu má v důsledku svého neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii Ek, pro kterou platí:

  • jedná se o Ek jedné molekuly plynu

• Každá molekula ideálního plynu má v důsledku neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii, která je přímo úměrná termodynamické teplotě plynu

• Vztah pro Ek umožňuje vyjádřit vnitřní energii U ideálního plynu s N jednoatomovými molekulami, platí tedy:

U=23​NkT=23​nRT

• Dosadíme-li do tohoto vztahu N = nNA a součin kNA označíme R, kde n je látkové množství plynu, R molární plynová konstanta a T termodynamická teplota plynu

Tlak plynu

• Tepelný pohyb molekul plynu uzavřeného v nádobě má za následek srážky těchto molekul s částicemi vnitřních stěn nádoby, což se projevuje jako střední tlaková síla F plynu na určitou plochu S

• Vztah p = F/S vyjadřuje střední hodnotu tlaku plynu, který můžeme změřit manometrem, např. kapalinovým

  

• Tlak ideálního plynu je přímo úměrný hustotě molekul NV = N/V, hmotnosti m0 jedné molekuly a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti vk, matematicky tuto závislost vyjadřuje základní rovnice pro tlak ideálního plynu

p=31​⋅VN​⋅m0​vk2​

Stavová rovnice pro ideální plyn

• Plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami termodynamickou teplotou T, tlakem p, objemem V a počtem molekul N
• Existují další stavové veličiny, souhrnně se jedná o takové veličiny, které nám charakterizují stav soustavy (teplota, objem, tlak, magnetizace, …) k určení stavu je zapotřebí znát určitý minimální počet stavových veličin, ostatní stavové veličiny jsou na nich závislé
• Rovnice, která vyjadřuje vztah mezi těmito veličinami se nazývá stavová rovnice

Popis stavu plynu veličinami

Tvar stavové rovnice

p, V, T, N

pV = NkT

p, V, T, n

pV = nRT

p, Vm, T

PVm = RT

p, V, T, m, Mm

pV = m/Mm RT

p, V, T (m = konst.)

resp.

p1, V1, T1 (1. stav)

p1, V2, T2 (2. stav)

pV/T = konst.

resp.

p1V1/T1 = p2V2/T2

Avogadrův zákon

• Mají-li dva plyny stejný objem, tlak a teplotu, pak pro ně platí rovnice pV = N1kT, pV = N2kT, ze kterých dostáváme N1 = N2
• Tuto skutečnost vyjadřuje Avogadrův zákon:

Různé ideální plyny o stejném objemu, teplotě a tlaku mají stejný počet molekul.

Izotermický děj s ideálním plynem

• Děj, při kterém je teplota plynu stálá, se nazývá izotermický děj, ze stavové rovnice ideálního plynu vyplývá:

  • Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu stálý (Boylův-Mariottův zákon):

    pV = konst., resp. p1V1 = p2V2

• Neboli: Tlak ideálního plynu při izotermickém ději je nepřímo úměrný jeho objemu.

• Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při izotermickém ději se nazývá izoterma

• Při izotermickém ději je ΔU = 0 a z prvního termodynamického zákona vyplývá:

  • Teplo QT přijaté ideálním plynem při izotermickém ději je rovno práci W´ kterou plyn při tomto ději vykoná: QT = W´

pV diagram

Izochorický děj s ideálním plynem

• Děj, při němž je objem plynu stálý, se nazývá izochorický děj, ze stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:
  • Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Charlesův):

Tp​=konst.

• Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty nebo jeho objemu při izochorickém ději se nazývá izochora
• Při izochorickém ději plyn nekoná práci a z prvního termodynamického zákona vyplývá:
  • Teplo QV přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku ΔU a jeho vnitřní energie: QV = ΔU = cVmΔT, kde cV je měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu, ΔT přírůstek teploty.

Izobarický děj s ideálním plynem

• Děj, při kterém je tlak plynu stálý, se nazývá izobarický děj, ze stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:

  • Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Gay-Lussacův):

    TV​=konst.

• Graf vyjadřující objem plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty, resp. tlak plynu jako funkci jeho objemu, při izobarickém ději se nazývá izobara

• Mění se vnitřní energie plynu a plyn koná práci, tedy dostáváme z prvního termodynamického zákona:

  • Teplo Qp přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku ΔU jeho vnitřní energie a práce, kterou plyn vykoná. Qp = ΔU + W´= cpmΔT, kde cp je měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku.

Adiabatický děj s ideálním plynem (= Poissonův zákon)

• Při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho okolím
• Při tomto ději je tedy Q = 0, takže z prvního termodynamického zákona vyplývá vztah ΔU = W
• Při adiabatickém stlačení (kompresi) plynu v nádobě se působením vnější síly na píst koná práce. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se zvětšují
• Při adiabatickém rozpínání (expanzi) koná plyn práci. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se při tom zmenšují.
• Pro adiabatický děj s ideálním plynem stálé hmotnosti platí Poissonův zákon: pVκ = konst., kde κ (kappa) = cp/cV je Poissonova konstanta
• Poněvadž cp > cV, je κ > 1
• Poissonova konstanta závisí na druhu plynu a její hodnoty pro různé plyny jsou uvedeny v MFChT
• Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při adiabatickém ději se nazývá adiabata