Matematické kyvadlo
- Je myšlenkový model
- Je to hmotný bod zavěšený na tenkém vlákně se zanedbatelnou hmotností a zanedbává se i odpor prostředí a deformace vlákna
- Ve skutečnosti se matematickému kyvadlu blíží závaží zavěšené na tenkém provázku.
Když kyvadlo necháme kmitat tak, aby výchylka nepřekročila 5°, můžeme pohyb hmotného bodu považovat za pohyb přímočarý. Na hmotný bod působí tíhová síla FG, která se při vychýlení z rovnovážné polohy rozkládá na sílu F’, která napíná lanko a na sílu F, která způsobuje, že se hmotný bod snaží vrátit do rovnovážné polohy
sinα=FGF=−ly′≈−ly
α ≐ sinα ≐ tgα
- y’ je vzdálenost hmotného bodu od svislé roviny, v níž se nachází rovnovážná poloha
- y je velikost výchylky hmotného bodu tzn. velikost oblouku kružnice, o který se hmotný bod vychýlí z rovnovážné polohy.
- Kyvadlo má vlastnosti mechanického oscilátoru, pro který platí:
F≈−lFG⋅y=−lm⋅g⋅y
F=−k⋅y
- Po dosazení do vztahu pro periodu a frekvenci vlastního kmitání kyvadla:
T0=2π√lmgm=2π√gl
- Perioda matematického kyvadla závisí jen na délce závěsu a na tíhovém zrychlení. Tak lze periodu pohybu kyvadla určit délkou závěsu nebo pomocí kyvadla určit tíhové zrychlení v daném místě.
- Důležitý pojem v souvislosti s měřením času je i kyv t, který je roven polovině periody. Kyv je doba za kterou kyvadlo projde z jednoho maxima do druhého. Sekundové kyvadlo má kyv 1 sekundu.
t=2T
Fyzické kyvadlo
- Je těleso zavěšené nad těžištěm, které se může otáčet kolem vodorovné osy nad těžištěm
- Perioda kmitání kyvadla nezávisí na hmotnosti kyvadla ani na výchylce z rovnovážné polohy, závisí jen na rozložení hmoty
- Perioda kmitání je určena jen délkou závěsu l
- Čím větší je délka závěsu l, tím větší je perioda kmitu T0
- Pohybová rovnice kyvadla:
- Úhlová frekvence kmitání:
ω0=√lg
- Perioda kmitání:
T0=2π√gl
Tlumené kmitání
- Je kmitání, u kterého se s časem zmenšuje amplituda, každé reálné kyvadlo
- Na oscilátor působí odpor prostředí, proto se amplituda postupně zmenšuje, až je nakonec nulová
- Energie se mění na jiné formy než na mechanickou – většinou na vnitřní energii
- Při kmitání ve vzduchu se amplituda výchylky zmenšuje velmi pomalu, ve vodě rychleji – závisí na odporu prostředí
Nucené kmitání
- Je takové kmitání, u kterého musíme na oscilátor působit silou (vnější), aby se kmity netlumily
- Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení
- Nucené kmitání vzniká působením periodické síly na oscilátory i na objekty, které vlastnosti oscilátoru nemají
- Frekvence nuceného kmitání závisí na frekvenci působící síly a nezávisí na vlastnostech kmitajícího objektu
- Nucené kmitání je netlumené
Rezonance
- Nastává, když se frekvence nutící síly přiblíží vlastní frekvenci oscilátoru.
- Velmi se zvětší amplituda kmitů.
- Měníme-li frekvenci nutící síly, pak v hodnotě frekvence vlastních kmitů je amplituda největší – vznikne maximum. Maximum je tím ostřejší, čím méně se tlumí vlastní kmity.
- Rezonance je využita např. u strunných hudebních nástrojů (housle, kytara).
- Nežádoucí zvětšení rezonanční amplitudy je např. u strojů, jejichž části se otáčejí. Tím vznikají periodické síly, které se přenášejí nejen na vlastní zařízení, ale i na jeho okolí, např. na podlahu.
- Graf závislosti amplitudy nucených kmitů na frekvenci nutících kmitů je rezonanční křivka.
- Rezonanční frekvence se poněkud zmenšuje s rostoucím tlumením.
- Význam rezonance spočívá v tom, že umožňuje rezonanční zesílení kmitů.
Malou, periodicky působící sílou lze v oscilátoru vzbudit kmitání o značné amplitudě výchylky, pokud je perioda vnějšího působení shodná s periodou vlastního kmitání oscilátoru.
Složené kmitání
Když spojíme dva oscilátory vláknem, jehož střed zvýrazníme, a rozkmitáme oscilátory, uvidíme, že i střed vlákna kmitá. Jeho kmity odpovídají pohybu vzniklému složením kmitů obou oscilátorů.- Skládají-li se harmonické pohyby se stejnou frekvencí, vznikne harmonický pohyb se stejnou frekvencí.
- U takového skládání se musí uvažovat jen s amplitudou a počáteční fází. Tyto veličiny se zobrazují jako fázory, proto je výhodné pro skládání kmitů používat fázorový diagram, kde jednotlivým harmonickým pohybům přísluší fázory.
- Výsledný pohyb, jeho amplituda a počáteční fáze se určí vektorovým součtem
- Pokud mají jednotlivé kmity různou frekvenci, vzniknou poměrně složité kmity s neharmonickým průběhem.
- Zvláštní případ nastane, když obě frekvence jsou přibližně stejně velké (w1 → w2).
- Amplituda výchylky výsledného pohybu se periodicky zvětšuje a zmenšuje.
- Vzniká složené kmitání, které nazýváme rázy.
- Amplituda rázů se mění s frekvencí f = f2 – f1.
- Rázů se využívá pro ladění.
Princip superpozice
- Koná-li hmotný bod současně dva nebo více harmonických pohybů v jedné přímce s okamžitými výchylkami y1, y2, …, yn, je okamžitá výchylka výsledného kmitání rovna jejich součtu y = y1 + y2 + … + yn.
Energiový popis
- Celková energie mechanického oscilátoru se skládá z kinetické energie Ek, z tíhové potenciální energie Ept a potenciální energie pružnosti Epr
- Kinetická energie je
Ek=21mv2
- Tíhová potenciální energie je
Ept=mgh
- Potenciální energie pružnosti je
Epr=21k(Δl)2
Δl=y
- Klidová energie oscilátoru je
E0=mgh+21k(Δl)2
- Když celkovou energii rozdělíme na klidovou energii a energii kmitání, bude energie kmitání:
E=21ky2+21mv2
E=E0+Ekm
Elektromagnetický oscilátor
- elektrický obvod = kondenzátor s kapacitou C a cívka s indukčností L
- Kondenzátor nabijeme ze zdroje stejnosměrného napětí a pak ho připojíme k cívce.
- V oscilačním obvodu vznikne elektromagnetické kmitání
Průběh jedné periody:
- Kondenzátor je nabit, je na něm náboj Qm. K nabití byla kondenzátoru dodána energie Ee. Napětí kondenzátoru je Um.
- Kondenzátor se vybíjí přes cívku. Vlivem vlastní indukce proud postupně narůstá, v čase dosáhne hodnoty Im. Náboj i napětí na kondenzátoru jsou nulové. Magnetické pole cívky má energii Em.
Proud v obvodu postupně klesá při zachování původního směru až v čase zaniká. Kondenzátor je však znovu nabit, ale opačně než v čase.- Kmitání oscilátoru je harmonické, mezi napětím a proudem je fázový rozdíl.
Thomsonův vztah:
T0=2π√LC
Vázané oscilátory
- Dva oscilátory, které jsou mezi sebou vzájemně spojeny, se označují jako vázané (spřažené) oscilátory.
- Kmity, které tyto oscilátory vykonávají, se nazývají vázané (spřažené) kmity.
- Takové spojení oscilátorů se nazývá vazba.
- Energie se při kmitání přenáší z jednoho oscilátoru na druhý a (v důsledku zákona zachování energie) opět zpátky
- Spřažená kyvadla jsou příkladem výměny energie mezi oscilátorem a rezonátorem působením vzájemné vazby.
- Vazba volná - vazbou vzniká jen malé vzájemné působení, energie z oscilátoru do rezonátoru přechází déle.
- Vazba těsná - vzájemné působení je silné, energie přejde do rezonátoru v krátké době.
Souhrn kmitání: (rozdělení)
- periodické - kmity se opakují po určitém časovém intervalu. Při periodickém pohybu se systém po určitém čase navrátí zpět do původního stavu.
Periodické kmity lze dále rozdělit na:
-
- harmonické
- neharmonické
- neperiodické (aperiodické) - Pokud se nejedná o periodický pohyb, mluvíme o pohybu neperiodickém. Sem lze zařadit např. přímočarý pohyb nebo aperiodické tlumené kmity
Podle tlumení kmitů lze kmitání dělit na:
- netlumené - při kmitání nedochází ke ztrátě energie (nedochází k tlumení kmitavého pohybu)
- tlumené - při kmitání se část energie kmitů ztrácí (např. v důsledku tření nebo odporu prostředí), což ovlivňuje kmitání (nejčastěji postupným zmenšování amplitudy)
Podle vlivu buzení lze kmitání dělit na:
- volné - Volné kmitání je kmitání soustavy bez působení vnějších sil, tzn. soustava je vychýlena z rovnováhy, uvolněna a ponechána v pohybu bez působení buzení.
- vlastní - Vlastní kmity jsou kmity soustav, na kterou nepůsobí buzení (vnější působení). Frekvence vlastních kmitů se označuje jako vlastní frekvence (kmitočet).
- nucené (vynucené) - Kmitání je ovlivňováno buzením.