Všechny důležité vzorce z matematiky na jednom místě, seřazené podle kategorií ve stejném pořadí jako v menu. Každý vzorec je převzatý z výkladu příslušného tématu — název tématu je odkaz na stránku, kde je vzorec vysvětlen, odvozen a procvičen. Nejsou tu ukázkové příklady ani řešené úlohy z didaktických testů, jen samotná pravidla.
Výrazy a mocniny (1. ročník)
Negace složených výroků
Negace konjunkce¬(a∧b)=(¬a∨¬b)
Negace disjunkce¬(a∨b)=(¬a∧¬b)
Negace implikace¬(a⇒b)=(a∧¬b)
Negace ekvivalence¬(a⇔b)=(¬a⇔b)=(a⇔¬b)
Množiny
Množina zadaná charakteristickou vlastnostíA={x∈N; x<4}
Číselné obory
Číselné obory jako podmnožinyN⊂Z⊂Q⊂R
Intervaly
Ohraničené intervaly:
| Zápis | Množinově | Typ |
|---|---|---|
| ⟨a;b⟩ | {x∈R; a≤x≤b} | uzavřený (obsahuje oba krajní body) |
| (a;b) | {x∈R; a<x<b} | otevřený (neobsahuje žádný krajní bod) |
| ⟨a;b) | {x∈R; a≤x<b} | polouzavřený zleva (polootevřený zprava) |
| (a;b⟩ | {x∈R; a<x≤b} | polouzavřený zprava (polootevřený zleva) |
Neohraničené intervaly:
| Zápis | Množinově |
|---|---|
| (a;+∞) | {x∈R; x>a} |
| ⟨a;+∞) | {x∈R; x≥a} |
| (−∞;b) | {x∈R; x<b} |
| (−∞;b⟩ | {x∈R; x≤b} |
| (−∞;+∞) | R (celá množina reálných čísel) |
Absolutní hodnota
Definice absolutní hodnoty∣a∣={a−aje-li a≥0je-li a<0
Odmocnina ze čtverce√a2=∣a∣
Vzdálenost čísel a, b na číselné ose∣a−b∣
Mocniny s přirozeným mocnitelem
Definice mocninyan=n činitelůa⋅a⋅a⋯a
Vědecký zápis číslaa⋅10nkde 1≤a<10, n∈Z
Součin mocnin se stejným základemar⋅as=ar+s
Podíl mocnin se stejným základemasar=ar−spro r>s
Mocnina mocniny(ar)s=ar⋅s
Mocnina součinu(a⋅b)r=ar⋅br
Mocnina podílu(ba)r=brarpro b=0
Částečné odmocňování
Odmocnina součinu√a⋅b=√a⋅√bpro a,b≥0
Násobení a dělení lomených výrazů
Násobení lomených výrazůba⋅dc=b⋅da⋅cpro b,d=0
Dělení lomených výrazůba:dc=ba⋅cd=b⋅ca⋅dpro b,c,d=0
Umocňování lomených výrazů(ba)n=bnanpro b=0
Rozklad na součin
Rozdíl čtvercůa2−b2=(a−b)(a+b)
Druhá mocnina součtua2+2ab+b2=(a+b)2
Druhá mocnina rozdílua2−2ab+b2=(a−b)2
Funkce a rovnice (2. ročník)
Kvadratická funkce
Předpis kvadratické funkcef:y=ax2+bx+ckde a,b,c∈R a a=0
DiskriminantD=b2−4ac
Vrchol parabolyV=[−2ab; −4aD]
Kvadratická rovnice
Obecný tvarax2+bx+c=0kde a=0
DiskriminantD=b2−4ac
Kořeny kvadratické rovnicex1,2=2a−b±√D
Vietovy vzorce — součet kořenůx1+x2=−ab
Vietovy vzorce — součin kořenůx1⋅x2=ac
Kvadratická nerovnice
Obecný tvarax2+bx+c>0kde a=0; znakem nerovnosti může být také <, ≥, ≤
Rozklad trojčlenu na součina(x−x1)(x−x2)
Mocninné funkce
Předpis mocninné funkcef:y=xnkde n∈Z∖{0}
Inverzní funkce
Definiční obor inverzní funkceD(f)=H(f−1)
Obor hodnot inverzní funkceH(f)=D(f−1)
Exponenciální funkce a její posunutí
Předpis exponenciální funkcef:y=axkde a∈R+∖{1}
Posunutí exponenciální funkcef:y=ax+m+n
Exponenciální rovnice
Součin mocninar⋅as=ar+s
Podíl mocninar:as=ar−s
Mocnina mocniny(ar)s=ar⋅s
Mocnina součinu mocnin(ar⋅bs)v=ar⋅v⋅bs⋅v
Logaritmická funkce a její posunutí
Předpis logaritmické funkcef:y=logaxkde a∈R+∖{1}
Posunutí logaritmické funkcef:y=loga(x+m)+n
Logaritmus, věty o logaritmování, logaritmické rovnice
Definice logaritmulogar=v⟺av=r
Logaritmus součinulogar+logav=loga(r⋅v)
Logaritmus podílulogar−logav=loga(r:v)
Logaritmus mocninys⋅logar=loga(rs)
Dekadický logaritmus (základ 10)píšeme logr místo log10r
Přirozený logaritmus (základ e)píšeme lnr místo loger
Goniometrické funkce
Hodnoty goniometrických funkcí v „hezkých“ úhlech:
| úhel | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 | nedef. | 0 | nedef. | 0 |
| cotg | nedef. | √3 | 1 | √3/3 | 0 | nedef. | 0 | nedef. |
Úprava výrazů s goniometrickými funkcemi
Základní vztahsin2x+cos2x=1
Tangenstgx=cosxsinx
Cotangenscotgx=sinxcosx
Součin tangens a cotangenstgx⋅cotgx=1
Sinus dvojnásobného úhlusin2x=2sinxcosx
Cosinus dvojnásobného úhlucos2x=cos2x−sin2x
Planimetrie (3. ročník)
Planimetrie, úhel, vzájemná poloha přímek
Převod stupňů na radiány1°=1801⋅π rad≈0,017 rad
Například
30°=18030π=6π rad
60°=18060π=3π rad
90°=2π rad
120°=32π rad
Trojúhelník – základní poznatky
Součet vnitřních úhlůα+β+γ=180°
Trojúhelníková nerovnosta+b>csoučasně a+c>b a b+c>a
Podobnost trojúhelníkůa′a=b′b=c′c=k
Trojúhelník – pravoúhlý
Pythagorova větac2=a2+b2
Sinussinα=přeponaprotilehlá=ca
Cosinuscosα=přeponapřilehlá=cb
Tangenstgα=přilehláprotilehlá=ba
Cotangenscotgα=protilehlápřilehlá=ab
Euklidova věta o výšcevc2=ca⋅cb
Euklidova věta o odvěsnách (odvěsna a)a2=c⋅ca
Euklidova věta o odvěsnách (odvěsna b)b2=c⋅cb
Trojúhelník – obecný
Obsah pomocí strany a výškyS=2a⋅va=2b⋅vb=2c⋅vc
Heronův vzorecS=√s(s−a)(s−b)(s−c)kde s=2a+b+c je poloviční obvod
Obsah pomocí dvou stran a sevřeného úhluS=21absinγ=21acsinβ=21bcsinα
Poloměr kružnice opsanér=4Sabc
Poloměr kružnice vepsanéρ=sS
Rovnoběžníky
Čtverec
Obvodo=4a
ObsahS=a2=21u2
Úhlopříčkau=a√2
Poloměr kružnice vepsanéρ=2a
Poloměr kružnice opsanér=2u
Obdélník
Obvodo=2(a+b)
ObsahS=a⋅b
Úhlopříčkau=√a2+b2
Poloměr kružnice opsanér=2u
Kosočtverec
Obvodo=4a
ObsahS=a⋅v=21u1u2=a2sinα=a2sinβ
Poloměr kružnice vepsanéρ=21asinα
Kosodélník
Obvodo=2(a+b)
ObsahS=a⋅va=b⋅vb=absinα=absinβ
Lichoběžník
Obvodo=a+b+c+d
ObsahS=m⋅vkde m je střední příčka
Rovnoramenný lichoběžník — vodorovný přesah kratší základnyx′=x′′=2a−c
Pravoúhlý lichoběžník — vodorovný přesah kratší základnyx=a−c
Pravidelný n-úhelník, nepravidelný n-úhelník
ObsahS=n⋅Strojúhelníkakde n je počet trojúhelníků
Obvodo=n⋅akde a je strana n-úhelníka
Úhel u středu v každém z dílčích trojúhelníkůα=n360°
Kruh, kružnice
Obvod kružniceo=2πr=πd
Obsah kruhuS=πr2
Obsah mezikružíSmezikruží=πr12−πr22=π(r12−r22)
Délka kruhového oblouku a kruhová výseč
Délka oblouku (α ve stupních)l=360°2πr⋅α
Délka oblouku (α v radiánech)l=2π2πr⋅α=rα
Obsah výseče (α ve stupních)Svýs=360°πr2⋅α
Obsah výseče (α v radiánech)Svýs=2ππr2⋅α=2r2α
Kruhová úseč
Obsah úsečeSúseč=Svýseč−S△=360°πr2⋅α−2a⋅va
Stereometrie (3. ročník)
Kolmý hranol
Objem hranoluV=Sp⋅v
Povrch hranoluS=2Sp+Spl
Krychle
ObjemV=a3
PovrchS=6a2
Kvádr
ObjemV=a⋅b⋅c
PovrchS=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)
Rotační válec
Obsah podstavySp=πr2
Obsah pláštěSpl=2πrv
PovrchS=2Sp+Spl=2πr2+2πrv=2πr(r+v)
ObjemV=Sp⋅v=πr2v
Jehlan
Povrch jehlanuS=Sp+Spl
Objem jehlanuV=31Sp⋅v
Pravidelný čtyřboký jehlan
PovrchS=a2+2as
ObjemV=31a2v
Pravidelný čtyřstěn
PovrchS=a2√3
ObjemV=121a3√2
Obsah podstavy — pravidelný n-úhelník o straně aS=4n⋅a2⋅cot(nπ)
Rotační kužel
Obsah podstavySp=πr2
Obsah pláštěSpl=πrs
PovrchS=Sp+Spl=πr2+πrs=πr(r+s)
ObjemV=31πr2v
Komolý jehlan
ObjemV=3v(SP1+SP2+√SP1⋅SP2)
PovrchS=SP1+SP2+Spl
Obsah pláště pravidelného čtyřbokého komolého jehlanuSpl=4⋅2a1+a2⋅s=2(a1+a2)s
Komolý kužel
Obsah dolní podstavySP1=πr12
Obsah horní podstavySP2=πr22
Obsah pláštěSpl=π(r1+r2)s
PovrchS=πr12+πr22+π(r1+r2)s
ObjemV=31πv(r12+r1r2+r22)
Koule, kulová plocha, kulová úseč a kulový vrchlík
Objem kouleV=34πr3
Povrch koule (kulová plocha)S=4πr2
Obsah kulového vrchlíkuSvrchlík=2πrv
Objem kulové úsečeVúseč=3πv2(3r−v)
Poloměr řezné kružnice kulové úsečeρ2=v(2r−v)
Kulová výseč, kulová vrstva a kulový pás
Objem kulové výsečeV=32πr2v
Objem kulové vrstvyV=6πv(3ρ12+3ρ22+v2)
Obsah kulového pásuS=2πrv
Posloupnosti (3. ročník)
Aritmetická posloupnost
Definice — další člen z předchozího a diferencean+1=an+d
Člen pomocí sousedních členůan=2an+1+an−1
Libovolný člen z prvního členu a diferencean=a1+(n−1)⋅d
Libovolný člen z jiného členu a diferencear=as+(r−s)⋅d
Součet prvních n členůSn=2n⋅(a1+an)
Geometrická posloupnost
Definice — další člen z předchozího a kvocientuan+1=an⋅q
Libovolný člen z prvního členu a kvocientuan=a1⋅qn−1
Libovolný člen z jiného členu a kvocientuas=ar⋅qs−r
Součet prvních n členůSn=a1⋅q−1qn−1pro q=1
Kombinatorika (3. ročník)
Variace a permutace bez opakování
Variace bez opakováníV(k,n)=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯(n−k+1)=(n−k)!n!
Permutace bez opakováníP(n)=n!
Faktoriál
n faktoriáln!=1⋅2⋅3⋯(n−1)⋅njen pro n∈N0
Nula faktoriál0!=1
Rekurentní vztahn!=n⋅(n−1)!
O jedna větší faktoriál(n+1)!=(n+1)⋅n!
Podíl dvou faktoriálů(n−1)!(n+1)!=(n+1)⋅n
Kombinace bez opakování
Kombinace z variacíC(k,n)=k!V(k,n)
Kombinační čísloC(k,n)=(nk)=k!(n−k)!n!
Variace, permutace a kombinace s opakováním
Variace s opakovánímV′(k,n)=nk
Permutace s opakovánímP′(n1,n2,…,nm)=n1!⋅n2!⋯nm!n!
Kombinace s opakovánímC′(k,n)=(n+k−1k)
Vlastnosti kombinačních čísel
Krajní hodnoty(n0)=1a také (nn)=1
Symetrie(nk)=(nn−k)
Pascalovo pravidlo (součtový vzorec)(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)
Součet řádku Pascalova trojúhelníku(n0)+(n1)+(n2)+⋯+(nn)=2n
Výběr jednoho prvku(n1)=n
Výběr dvojice(n2)=2n(n−1)zápasy každý s každým, podání rukou, přímky z n bodů
Výběr trojice(n3)=6n(n−1)(n−2)
Počet úhlopříček konvexního n-úhelníkuun=2n(n−3)
Binomická věta
Binomická věta(a+b)n=k=0∑n(nk)an−kbk
(k+1)-ní člen binomického rozvojeTk+1=(nk)an−kbk
Statistika (4. ročník)
Statistika – charakteristiky polohy
Aritmetický průměrxˉ=n∑i=1nxi
Aritmetický průměr z četnostíxˉ=∑ni∑xini
Vážený průměrxˉw=∑wi∑xiwi
Geometrický průměrG=n√x1⋅x2⋯xn
Harmonický průměrH=∑i=1nxi1n
Statistika – charakteristiky variability
Rozptyls2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2
Směrodatná odchylkas=√s2=⎷n1i=1∑n(xi−xˉ)2
Variační koeficientv=xˉs⋅100%
Statistika – korelace
Koeficient korelacerxy=sxsyn1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)
Koeficient korelace — vzorec pro ruční výpočetrxy=sxsyn1∑i=1nxiyi−xˉyˉ
Analytická geometrie (4. ročník)
Úsečka, střed a délka úsečky
Vzdálenost dvou bodů∣AB∣=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
Střed úsečkyS=[2xA+xB; 2yA+yB]
Operace s vektory
Souřadnice vektoruu⃗=AB=B−A=(xB−xA; yB−yA)
Velikost vektoru∣u⃗∣=√u12+u22
Násobení vektoru číslemk⋅u⃗=(k⋅u1; k⋅u2)
Součet a rozdíl vektorů
Součet vektorůu⃗+v⃗=(u1+v1; u2+v2)
Rozdíl vektorůu⃗−v⃗=(u1−v1; u2−v2)
Úhel dvou vektorů
Skalární součinu⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2
Úhel dvou vektorůcosφ=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣u⃗⋅v⃗
Kolmost vektorůu⃗⟂v⃗⟺u⃗⋅v⃗=0
Směrový a normálový vektor
Normálový vektor ze směrového vektorun⃗=(s2; −s1)nebo ekvivalentně n⃗=(−s2; s1)
Parametrické vyjádření přímky
Parametrická rovnice přímkyp: X=A+t⋅s⃗kde t∈R
Parametrické rovnice přímky po souřadnicíchx=xA+t⋅s1,y=yA+t⋅s2kde t∈R
Obecná rovnice přímky
Přímka bodem A s normálovým vektorem n⃗=(a;b)a(x−xA)+b(y−yA)=0
Obecná rovnice přímkyax+by+c=0
Směrnicový tvar rovnice přímky
Směrnicový tvary=kx+q
Směrnice přímkyk=tgφ
Směrnice a q z obecné rovnicey=−bax−bc⟹k=−ba,q=−bc
Kuželosečky
Elipsaa2x2+b2y2=1
Parabolay2=2px
Hyperbolaa2x2−b2y2=1
Kružnice
Kružnice se středem v počátkux2+y2=r2
Středová rovnice kružnice(x−m)2+(y−n)2=r2
Obecná rovnice kružnicex2+y2+Dx+Ey+F=0
Převod na středový tvar(x+2D)2+(y+2E)2=4D2+E2−F