Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky (postupně se odkrývající text), který se při převodu do textu ztratil. Zadání tří závěrečných příkladů se dochovalo — teorie a řešení příkladů jsou zde doplněné/rekonstruované a nezávisle přepočítané.
N faktoriál
Faktoriál přirozeného čísla n (značíme n!) je součin všech přirozených čísel od 1 do n:
n!=1⋅2⋅3⋯(n−1)⋅n
Faktoriál je definován jen pro celá nezáporná čísla n∈N0 — v rovnici s faktoriálem proto vždy nejdřív napište podmínky (např. u (n−2)! musí být n≥2).
Například: 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n! | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5 040 | 40 320 | 362 880 | 3 628 800 |
Faktoriál roste velmi rychle — už 13! má deset cifer. Proto se ve výpočtech faktoriály skoro nikdy nevyčíslují celé, ale krátí (viz pravidla níže).
Pravidla pro počítání s faktoriály
Nula faktoriál:
0!=1
Proč zrovna 1, a ne 0? Z pravidla n!=n⋅(n−1)! pro n=1 vychází 1!=1⋅0!, a protože 1!=1, musí být 0!=1. Kombinatoricky: prázdnou skupinu lze „uspořádat” právě jedním způsobem. A vzorce pak fungují i v krajních případech — např. (nn)=n!⋅0!n!=1.
Jedna faktoriál:
1!=1
Rekurentní vztah:
n!=n⋅(n−1)!
Platí pro n≥1. Faktoriál většího čísla tedy obsahuje faktoriál menšího čísla — „vytknout” lze libovolný počet posledních členů:
n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!
O jedna větší faktoriál:
(n+1)!=(n+1)⋅n!
Podíl dvou faktoriálů:
(n−1)!n!=n
(n−1)!(n+1)!=(n+1)⋅n
Obecně se v podílu (n−k)!n! zkrátí všechno kromě posledních k činitelů: (n−k)!n!=n⋅(n−1)⋯(n−k+1) — to je přesně počet variací V(k,n).
Častá chyba: faktoriál se nedá roznásobit ani rozdělit po částech — (2n)!=2⋅n! (např. 4!=24, ale 2⋅2!=4) a (a+b)!=a!+b!. Součet faktoriálů se upravuje vytknutím menšího faktoriálu: n!+(n+1)!=n!(1+n+1)=n!(n+2).
Variace pomocí faktoriálu
Vzorec pro k-člennou variaci bez opakování z n prvků (viz Variace a permutace bez opakování) lze zapsat pomocí faktoriálů:
V(k,n)=n⋅(n−1)⋯(n−k+1)=(n−k)!n!
(V čitateli je n!, ve jmenovateli „zbytek”, který bychom násobili dál, kdybychom nezastavili u k-tého členu.)
Příklady — řešení rovnic s faktoriály
1. Z kolika prvků lze vytvořit 56 dvoučlenných variací?
Hledáme n takové, že V(2,n)=56:
n(n−1)=56 ⇒ n2−n−56=0
D=1+224=225, √D=15, n=21+15=8 (záporný kořen n=−7 nemá pro počet prvků smysl).
Výsledek: n=8 (ověření: 8⋅7=56 ✓)
2. Z kolika prvků lze vytvořit třikrát víc variací třetí třídy než variací druhé třídy?
Hledáme n takové, že V(3,n)=3⋅V(2,n):
n(n−1)(n−2)=3⋅n(n−1)
Pro n=0,1 můžeme obě strany vydělit n(n−1):
n−2=3 ⇒ n=5
Výsledek: n=5 (ověření: V(3,5)=5⋅4⋅3=60, V(2,5)=5⋅4=20, a 60=3⋅20 ✓)
3. Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací druhé třídy z těchto prvků o 26. Kolik je prvků?
Hledáme n takové, že V(2,n+2)−V(2,n)=26:
(n+2)(n+1)−n(n−1)=26
(n2+3n+2)−(n2−n)=26 ⇒ 4n+2=26 ⇒ n=6
Výsledek: n=6 (ověření: V(2,8)−V(2,6)= 8⋅7−6⋅5= 56−30= 26 ✓)
Příklady na procvičení
1. Zjednodušte n!(n+2)!.
Výsledek: n!(n+2)⋅(n+1)⋅n!= (n+2)(n+1)= n2+3n+2
2. Zjednodušte (n+1)!(n−1)!.
Výsledek: (n+1)⋅n⋅(n−1)!(n−1)!=n(n+1)1, podmínka n≥1
3. Zjednodušte n!1−(n+1)!1.
Výsledek: společný jmenovatel (n+1)!: (n+1)!(n+1)−1=(n+1)!n
4. Vypočítejte 8!⋅2!10! bez kalkulačky.
Výsledek: 8!⋅210⋅9⋅8!=290=45
5. Řešte rovnici (n−1)!(n+1)!=30.
Výsledek: podmínka n≥1; (n+1)⋅n=30, tj. n2+n−30=0, kořeny 5 a −6; vyhovuje jen n=5 (ověření: 6⋅5=30)
6. Řešte rovnici n!+(n+1)!=6⋅n!.
Výsledek: vytkneme n!: n!(1+n+1)=6⋅n!, po vydělení n! (je vždy kladné) n+2=6, tedy n=4 (ověření: 24+120=144=6⋅24)
Zdroje
CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.