Faktoriál

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky (postupně se odkrývající text), který se při převodu do textu ztratil. Zadání tří závěrečných příkladů se dochovalo — teorie a řešení příkladů jsou zde doplněné/rekonstruované a nezávisle přepočítané.

N faktoriál

Faktoriál přirozeného čísla n (značíme n!) je součin všech přirozených čísel od 1 do n:

n!=1⋅2⋅3⋯(n−1)⋅n

Speciálně definujeme 0!=1 (pro potřeby vzorců, aby fungovaly i pro okrajové případy).

Příklad: 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120

Užitečná vlastnost pro úpravy výrazů: n!=n⋅(n−1)! (a obecněji lze „vytknout” libovolný počet posledních členů).

Variace pomocí faktoriálu

Vzorec pro k-člennou variaci bez opakování z n prvků (viz Variace a permutace bez opakování) lze zapsat pomocí faktoriálů:

V(k,n)=n⋅(n−1)⋯(n−k+1)=(n−k)!n!​

(V čitateli je n!, ve jmenovateli „zbytek”, který bychom násobili dál, kdybychom nezastavili u k-tého členu.)

Příklady — řešení rovnic s faktoriály

1. Z kolika prvků lze vytvořit 56 dvoučlenných variací?

Hledáme n takové, že V(2,n)=56:

n(n−1)=56 ⇒ n2−n−56=0

D=1+224=225, √D=15, n=21+15​=8 (záporný kořen n=−7 nemá pro počet prvků smysl).

Výsledek: n=8 (ověření: 8⋅7=56 ✓)

2. Z kolika prvků lze vytvořit třikrát víc variací třetí třídy než variací druhé třídy?

Hledáme n takové, že V(3,n)=3⋅V(2,n):

n(n−1)(n−2)=3⋅n(n−1)

Pro n=0,1 můžeme obě strany vydělit n(n−1):

n−2=3 ⇒ n=5

Výsledek: n=5 (ověření: V(3,5)=5⋅4⋅3=60, V(2,5)=5⋅4=20, a 60=3⋅20 ✓)

3. Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací druhé třídy z těchto prvků o 26. Kolik je prvků?

Hledáme n takové, že V(2,n+2)−V(2,n)=26:

(n+2)(n+1)−n(n−1)=26

(n2+3n+2)−(n2−n)=26 ⇒ 4n+2=26 ⇒ n=6

Výsledek: n=6 (ověření: V(2,8)−V(2,6)=8⋅7−6⋅5=56−30=26 ✓)

Zdroje

CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.