Pozn. k obsahu: Vzorce (an=a1qn−1, sn=a1⋅q−1qn−1, vzorec pro složené úrokování an=a0(1±100p)n), které se v PDF ztratily jako vzorcové objekty, jsou doplněny standardním zněním. U několika úloh (4, 7, 8, 3i) se ztratila i některá vstupní čísla nebo přesná nabídka možností — dochované mezivýpočty ale umožnily ověřit výsledné hodnoty.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Geometrická posloupnost
1) U čtveřic čísel určete, tvoří-li geometrickou posloupnost:
a) (4;2;−2;−4) b) (1;4;16;64) c) (8;−4;2;−1) d) (0;4;8;12)
Jaro 2011, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) ANO, d) NE.
Řešení: a) 4⋅q=2⟹q=0,5, ale 2⋅0,5=1=−2 — NE. b) ANO, q=4. c) ANO, q=−0,5. d) 0⋅q=4 nemá řešení — NE.
2) Počet obyvatel se za 2 roky zvýšil z 24 500 na 26 500 (stejný meziroční přírůstek). Jaký byl přírůstek?
A) méně než 4,0 % B) přibližně 4,0 % C) přibližně 4,1 % D) přibližně 4,2 % E) více než 4,2 %
Jaro 2012, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení (složené úrokování): 26,500=24,500(1+100p)2⟹(1+100p)2≈1,0816⟹1+100p≈1,04⟹p≈4.
3) Počítač za 10 000 Kč se každý rok znehodnotí o stejné procento. Po 4 letech klesne na cca 1 300 Kč. Kolik procent ročně (s přesností na 1 %)?
A) méně než 22 % B) 22 % C) 34 % D) 40 % E) více než 40 %
Podzim 2012, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení: 1,300=10,000(1−100p)4 /:10,000⟹0,13=(1−100p)4⟹1−100p≈0,6005⟹p≈40.
4) V geometrické posloupnosti platí a2=2, a2⋅a3=6. Které tvrzení je nepravdivé?
A–D) (nedochováno, pravdivá) E) qa3=2 (chybně; ve skutečnosti a1=34)
Jaro 2013, příklad č. 24. Body: 2.
Řešení: a3=a26=3. q=a2a3=1,5. Správně: a1=qa2=1,52=34, ne 2 jako tvrdí nepravdivá možnost E (ta chybně dělí a3, ne a2, kvocientem).
5) a2=12, a3=18. Jaký je součet a1+a2+a3+a4?
A) 60 B) 64 C) 65 D) 72 E) jiný součet
Podzim 2013, příklad č. 23. Body: 2.
Řešení: q=1218=1,5; a1=1,512=8; a4=18⋅1,5=27. Součet: 8+12+18+27=65.
(Nebo součtovým vzorcem: s4=8⋅1,5−11,54−1=8⋅0,54,0625=65.)
6) Kocourkovští si půjčili 1 mil. Kč, dluh každý rok roste o 50 %. Ve kterém roce dluh poprvé překročí 15 mil. Kč?
A) v 6. roce B) v 8. roce C) v 9. roce D) v 10. roce E) později
Jaro 2014, příklad č. 19. Body: 2.
Řešení: 15=1,5n (v milionech). Zlogaritmováním: n=log1,5log15≈6,7. Protože první rok byl bezúročný, přičteme 1: 6,7+1≈7,7, tedy dluh poprvé překročí 15 mil. v 8. roce.
Kontrola postupným výpočtem: konec 1. roku 1 000 000 Kč, 2. roku 1 500 000, 3. roku 2 250 000, 4. roku 3 375 000, 5. roku 5 062 500, 6. roku 7 593 750, 7. roku 11 390 625, 8. roku 17 085 937,5 Kč — poprvé přes 15 mil. v 8. roce ✓.
7) Geometrická posloupnost s prvními dvěma členy a1=21, a2=2 (rekonstrukce, q=4). Jaký je třetí člen?
A–B, D–E) (nedochováno) C) a3=8
Jaro 2014, příklad č. 26.3. Body: 1.
Řešení: q=a1a2=4. a3=a2⋅q=2⋅4=8.
8) Do kterého intervalu patří třetí člen posloupnosti (ze zadaných a2, a4, kde členy musí být kladné)?
A) ⟨1;4) B) ⟨4;8) C) ⟨8;16) D) ⟨16;32) E) ⟨32;40⟩
Jaro 2015, příklad č. 23. Body: 2. Výsledek: a3=4,5.
Řešení: z a4=a2q2 vychází q2 s dvěma možnými řešeními q1 (kladné) a q2 (záporné). Pro kladné q1: a3≈4,5. Pro záporné q2: a3≈−4,5, což nevyhovuje zadání (členy musí být kladné). Platí tedy a3=4,5∈⟨4;8).
9) V geometrické posloupnosti q=−2, a1+a2+a3+a4+a5=15,4. Do kterého intervalu patří a1?
A) ⟨−8;0) B) (0;2⟩ C) (2;4⟩ D) (4;8⟩ E) do žádného
Podzim 2015, příklad č. 19. Body: 2. Výsledek: a1=1,4.
Řešení: s5=a1⋅−2−1(−2)5−1=a1⋅−3−33=11a1. 15,4=11a1⟹a1=1,4.
10) Stroj za 200 000 Kč zlevňoval o stejné procento denně; po 4. snížení klesl na 81 920 Kč. O kolik se cena snížila poprvé?
A) méně než 30 000 Kč B) 30 000 Kč C) 35 000 Kč D) 40 000 Kč E) více než 40 000 Kč
Jaro 2016, příklad č. 20. Body: 2.
Řešení: 81,920=200,000(1−100p)4 /:200,000⟹0,4096=(1−100p)4⟹1−100p=0,8⟹p=20. První snížení: 20 z 200,000=40,000 Kč.
11) Obrazec s 18 trojúhelníky, výšky tvoří GP a1=1, q=2. Vypočtěte celkovou výšku v.
Podzim 2016, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: 262 143 cm.
Řešení: s18=1⋅2−1218−1=218−1=262,143 cm.
12) AP: a1=1, a4=−8. GP: g1=1, g4=−8. Které tvrzení je nepravdivé (o vztahu mezi odpovídajícími členy obou posloupností)?
A–C, E) (pravdivá) D) (nepravdivé)
Jaro 2017, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: AP: a4=a1+3d⟹−8=1+3d⟹d=−3: 1,−2,−5,−8. GP: g4=g1q3⟹−8=q3⟹q=−2: 1,−2,4,−8. Druhé členy obou posloupností se shodují (−2=−2), ale třetí členy se liší (−5=4) — z toho plyne, které tvrzení o (ne)shodě členů je nepravdivé.
13) Přiřaďte GP a), b) jejich druhý člen:
a) a1=8, a4=−1 b) q=−21, s3=−12
A) a2=4 B) a2=5 C) a2=6 D) a2=7 E) a2=8 F) jiná hodnota
Podzim 2017, příklad č. 25.3, 25.4. Body: 2. Výsledek: a) F (a2=−4), b) E.
Řešení: a) −1=8q3⟹q3=−81⟹q=−21. a2=8⋅(−21)=−4.
b) s3=a1⋅q−1q3−1=−12; s q=−21 vychází a1=−16. a2=a1q=−16⋅(−21)=8.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) V GP je q=23, a54=54. Určete a55 a a51.
2010 (1), příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: a55=81, a51=16.
Řešení: a55=a54⋅q=54⋅23=81. a54=a51⋅q3⟹54=a51⋅827⟹a51=54⋅278=16.
2i) V GP je g2=−10, g3=20. Přiřaďte a) g1, b) g4:
A) −50 B) −40 C) −10 D) 5 E) 40 F) 50
2011, příklad č. 22.3, 22.4. Body: 2. Výsledek: a) D, b) B.
Řešení: q=−1020=−2. g1=qg2=−2−10=5. g4=g3⋅q=20⋅(−2)=−40.
3i) V geometrické posloupnosti jsou dány dva vztahy mezi členy a2 a a3, vedoucí k a2=2, a3=8. Jaký je kvocient?
A–B) (nedochováno) C) 2 D) 4 E) 6
2014 (1), příklad č. 23. Body: 2.
Řešení: q=a2a3=28=4.
4i) Úvěr s 10% roční úrokovou mírou splacen po 2 letech částkou 72 600 Kč (složené úročení). Kolik bylo půjčeno?
A) 60 000 Kč B) 60 200 Kč C) 60 500 Kč D) 60 600 Kč E) jiná částka
2014 (2), příklad č. 19. Body: 2.
Řešení: 72,600=a0⋅1,12=a0⋅1,21⟹a0=60,000 Kč.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 36) Geometrická posloupnost.pdf.