Goniometrické funkce

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky, grafy a tabulky vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily (v tabulce hodnot chyběly sloupce 30°/60°, ve dvou příkladech chyběly konkrétní hodnoty posunu — dopočítány ze zachovaných výsledků). Text, vzorce, tabulky a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované; grafy jsou vykreslené v radiánech (běžná konvence pro spojité funkce), zatímco tabulky hodnot používají stupně tak, jak byly v podkladu.

Osnova

a) pojem funkce, b) goniometrické funkce, c) grafy a vlastnosti jednotlivých funkcí, d) posouvání grafů goniometrických funkcí, e) příklady na procvičení včetně řešení.

Funkce

Funkce je předpis, který každému x z nějaké množiny D (definiční obor) přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny H (obor hodnot). O funkci mluvíme také jako o tzv. zobrazení, např. R→R — zobrazení z množiny R do množiny R.

V matematice pracujeme kromě jiných funkcí i s funkcemi goniometrickými: funkce sinus (sin), funkce cosinus (cos), funkce tangens (tg), funkce cotangens (cotg).

Grafy a vlastnosti

Funkce sinus (graf: sinusoida) — lichá funkce (souměrná podle středu [0;0]). D(f)=R, H(f)=⟨−1;1⟩, perioda 2π (360°).

Funkce cosinus (graf: cosinusoida) — sudá funkce (souměrná podle osy y). D(f)=R, H(f)=⟨−1;1⟩, perioda 2π (360°).

Funkce tangens (graf: tangentoida) — lichá funkce. D(f)=R−\left2π​(2k+1); k∈Z\right (tj. mimo liché násobky 90°, kde funkce není definovaná), H(f)=R, perioda π (180°).

Funkce cotangens (graf: cotangentoida) — lichá funkce. D(f)=R−kπ; k∈Z, H(f)=R, perioda π (180°).

Hodnoty v „hezkých” úhlech

Ukázkové příklady — posouvání grafu

a) f:y=sin2x

Původní funkce sinus nabývá pro 0°=0, 90°=1, 180°=0, 270°=−1, 360°=0. Nová funkce (argument násoben 2) nabývá stejných hodnot dvakrát rychleji: 2⋅0°=0°→0, 2⋅45°=90°→1, 2⋅90°=180°→0, 2⋅135°=270°→−1, 2⋅180°=360°→0.

Graf změní periodu z 360° na 180°.

b) f:y=cos(x−2π​)

Nová funkce vznikne tak, že graf cosinu posuneme podél osy x o 2π​ (90°) doprava (kdyby bylo v závorce +, posunuli bychom doleva). Výsledné hodnoty (0°=0, 90°=1, 180°=0, 270°=−1, 360°=0) odpovídají funkci sinus — což dává smysl, protože cos(x−90°)=sinx je známá identita.

c) f:y=cosx−1

Graf cosinu posuneme podél osy y o 1 dolů — v y=−1 vznikne nová vodorovná asymptota chování („nová osa x”). Perioda se nemění.

d) f:y=∣tg,x∣

Tu část grafu tangens, která je pod osou x, souměrně překreslíme nad osu x (absolutní hodnota).

Příklady na procvičení

Příklad 1: Sestrojte graf funkce f:y=cos(0,5x) pomocí posouvání.

Výsledek:

• původní cosinus: 0°=1, 90°=0, 180°=−1, 270°=0, 360°=1
• nová funkce (argument násoben 0,5): 0,5·0°=0°→1; 0,5·90°=45°→√2/2≈0,71; 0,5·180°=90°→0; 0,5·270°=135°→−√2/2≈−0,71; 0,5·360°=180°→−1
• perioda: se změní z 360° na 720° (argument roste poloviční rychlostí)

Příklad 2: Sestrojte graf funkce f:y=sin(x+4π​) pomocí posouvání.

Výsledek:

• posun: graf sinu se posune o π/4 (45°) doleva, perioda se nemění
• ověření hodnot: −45°→0, 45°→1, 135°→0, 225°→−1, 315°→0

Příklad 3: Sestrojte graf funkce f:y=cosx+0,5 pomocí posouvání.

Výsledek: graf cosinu se posune o 0,5 nahoru, v y=0,5 vznikne nová osa x’; perioda se nemění

Příklad 4: Sestrojte graf funkce f:y=∣sinx∣ pomocí posouvání.

Výsledek: část grafu sinu pod osou x se souměrně překreslí nad osu x (absolutní hodnota) — graf vypadá jako řada „kopečků” nad osou x

Shrnutí

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6