Intervaly

Pozn. k obsahu: Tabulka typů intervalů byla v PDF vysázená jako obrázek/vzorec a nedochovala se — doplněna standardním přehledem, provázaným s příkladem, který v textu zůstal.

Podmnožiny reálných čísel, které lze znázornit jako úsečku, polopřímku nebo přímku (přičemž jejich krajní body mohou, ale nemusí do dané množiny patřit), nazýváme intervaly. Čísla $a, b \in R$ jsou meze intervalu — $a$ je dolní mez, $b$ horní mez.

Ohraničené intervaly

Zápis	Množinově	Typ
$⟨ a; b ⟩$	${x \in R; a \leq x \leq b}$	uzavřený (obsahuje oba krajní body)
$(a; b)$	${x \in R; a < x < b}$	otevřený (neobsahuje žádný krajní bod)
$⟨ a; b)$	${x \in R; a \leq x < b}$	polouzavřený zleva (polootevřený zprava)
$(a; b ⟩$	${x \in R; a < x \leq b}$	polouzavřený zprava (polootevřený zleva)

Neohraničené intervaly

Zápis	Množinově
$(a; +\infty)$	${x \in R; x > a}$
$⟨ a; +\infty)$	${x \in R; x \geq a}$
$(-\infty; b)$	${x \in R; x < b}$
$(-\infty; b ⟩$	${x \in R; x \leq b}$
$(-\infty; +\infty)$	$R$ (celá množina reálných čísel)

Pozn.: krajní meze $\pm\infty$ nikdy nepatří do intervalu (nejsou to reálná čísla), proto se u nich vždy píše kulatá (otevřená) závorka.

Příklad: Zapište intervaly ${x \in R; - k \leq x \leq k}$ , ${x \in R; - k < x < k}$ , ${x \in R; - k \leq x < k}$ a ${x \in R; - k < x \leq k}$ v intervalovém tvaru.

${x \in R; - k \leq x \leq k} = ⟨- k; k ⟩$

${x \in R; - k < x < k} = (- k; k)$

${x \in R; - k \leq x < k} = ⟨- k; k)$

${x \in R; - k < x \leq k} = (- k; k ⟩$

Příklady na procvičení

1. Zapište intervalem množinu všech reálných čísel $x$ , pro která platí:

a) $x \geq -2$
b) $-1 < x \leq 4$
c) $x < 0$

Výsledek: a) $⟨-2; +\infty)$ , b) $(-1; 4⟩$ , c) $(-\infty; 0)$

2. Zapište nerovnicí: a) $x \in (-3; 5⟩$ , b) $x \in ⟨7; +\infty)$ .

Výsledek: a) $-3 < x \leq 5$ , b) $x \geq 7$

3. Rozhodněte, která z čísel $-2; 0; 3; 3, 5$ patří do intervalu $⟨-2; 3)$ .

Výsledek: $-2$ ano (závorka je uzavřená), $0$ ano, $3$ ne (závorka je otevřená), $3, 5$ ne

4. Vypište všechna celá čísla z intervalu $(-2, 5; 1⟩$ .

Výsledek: $-2; -1; 0; 1$

5. Jsou dány intervaly $A = ⟨-1; 4)$ a $B = (2; 6⟩$ . Určete $A \cap B$ , $A \cup B$ a $A ∖ B$ . Nakreslete si je na číselnou osu.

Výsledek: $A \cap B = (2; 4)$ , $A \cup B = ⟨-1; 6⟩$ , $A ∖ B = ⟨-1; 2⟩$ (číslo 2 do $B$ nepatří, proto v rozdílu zůstává)

6. Zapište intervalem množinu všech $x \in R$ , pro která a) $∣ x ∣ \leq 3$ , b) $∣ x ∣ > 2$ .

Výsledek: a) $⟨-3; 3⟩$ , b) $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Intervaly.pdf

Pracovní plocha

Piš sem myší, prstem nebo perem… Dva prsty posouvají a přibližují, ťuknutí dvěma prsty vrátí krok. Shift = rovná čára.

Výsledek:

Zdroj: mat2/Intervaly.pdf