Trojúhelník – obecný

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode zlomky), text a výsledky úkolů se ale dochovaly celé — vzorce jsou zde přepsané do LaTeXu, výsledky do spoilerů, čísla stránek odstraněna.

Obecný trojúhelník může být rovnostranný, rovnoramenný, různostranný, pravoúhlý, ostroúhlý nebo tupoúhlý — vzorce v této kapitole platí pro trojúhelník úplně obecně.

Základní vzorce

1) Obvod trojúhelníku: součet délek stran, $o = a + b + c$

2a) Obsah trojúhelníku pomocí strany a výšky (kolmice) na tuto stranu:

$S = 2 a \cdot v a = 2 b \cdot v b = 2 c \cdot v c $

Pozn.: v pravoúhlém trojúhelníku je strana $a$ zároveň výškou na stranu $b$ a strana $b$ výškou na stranu $a$ — proto platí $S = 2 a \cdot b $ . Pravoúhlý trojúhelník je vlastně polovina obdélníku (u rovnoramenného pravoúhlého polovina čtverce).

Obsah pomocí strany a a výšky v_a

2b) Obsah trojúhelníku pomocí všech stran — Heronův vzorec:

$S = \sqrt s (s - a)(s - b)(s - c) , kde s = 2 a + b + c (poloviční obvod)$

2c) Obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu, který svírají:

$S = 21 ab sin γ = 21 ac sin β = 21 bc sin α$

Další vzorce

$r = 4 S abc — poloměr kružnice opsané (pomocí všech stran a obsahu trojúhelníku)$

$ρ = s S — poloměr kružnice vepsané (pomocí obsahu a polovičního obvodu)$

Úkol 1

Sestrojte trojúhelník ABC o stranách $a = 5 cm, b = 7 cm, c = 9 cm$ .

a) Vypočítejte obvod trojúhelníku.

Výsledek: o = 5+7+9 = 21 cm

b) Zakreslete všechny výšky (kolmice na protější strany). Změřte jejich velikosti (na 1 desetinné místo) a pomocí vzorce $S = 2 a v a $ (resp. $2 b v b $ , $2 c v c $ ) vypočítejte obsah trojúhelníku pro každý vzorec zvlášť a výsledky porovnejte.

Výsledek: S ≈ 17,5 cm² (přesná hodnota s drobnou odchylkou danou nepřesností ručního měření výšek — viz přesný výpočet Heronovým vzorcem níže)

c) K výpočtu obsahu použijte Heronův vzorec a výsledek porovnejte s částí b).

Výsledek: s = (5+7+9)/2 = 10,5; S = √(10,5·5,5·3,5·1,5) = √303,1875 ≈ 17,41 cm² — velmi blízko ručně naměřenému výsledku, drobný rozdíl je dán nepřesností měření výšek pravítkem

Úkol 2

Sestrojte trojúhelník ABC o stranách $a = 6 cm, b = 8 cm$ a úhlu $γ = 60°$ mezi nimi. Vypočítejte obsah tohoto trojúhelníku.

Výsledek: S = ½·a·b·sin γ = ½·6·8·sin60° = 24·(√3/2) ≈ 20,78 cm²

Úkol 3

Sestrojte trojúhelník ABC o stranách $a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm$ . Vypočítejte poloměr kružnice opsané ( $r$ ) a vepsané ( $ρ$ ) tomuto trojúhelníku.

Výsledek:

nejprve obsah Heronovým vzorcem: s=6,5; S=√(6,5·3,5·2,5·0,5)=√28,4375≈5,332 cm²
r = abc/(4S) = 3·4·6/(4·5,332) = 72/21,328 ≈ 3,38 cm
ρ = S/s = 5,332/6,5 ≈ 0,82 cm