Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a grafy vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily. Text, vzorce, tabulky a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované z dochovaných tabulek hodnot; všechny předpisy a hodnoty byly nezávisle ověřeny.
Osnova
a) pojem exponenciální funkce, b) sestrojení grafu, c) posunutí grafu, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.
Exponenciální funkce
Předpis: f:y=ax, kde x∈R, a∈R+∖{1} (tedy a∈(0;1)∪(1;∞)).
Pozn.: kdyby bylo a=1, nešlo by o exponenciální funkci, ale o konstantní funkci (y=1 pro všechna x).
Grafem je exponenciála. Tvar grafu závisí na základu a: pro a∈(0;1) je funkce klesající, pro a∈(1;∞) je funkce rostoucí.
Ukázkový příklad
Sestrojte graf exponenciální funkce f:y=2x. Určete definiční obor a obor hodnot.
Definiční obor není v zadání omezen, proto D(f)=R.
| x | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 1/2 | 1 | 2 |
Výsledek: H(f)=(0;∞)
Příklady na procvičení
Příklad 1: Sestrojte graf funkce f:y=(41)x. Určete H(f).
D(f)=R. Protože a=41∈(0;1), funkce je klesající.
| x | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 1/4 |
Výsledek: H(f)= (0; ∞)
Příklad 2: Sestrojte graf funkce f:y=−3x. Určete H(f).
D(f)=R. Protože a=3∈(1;∞), „vnitřní” funkce 3x je rostoucí, ale mínus před ní graf překlopí pod osu x.
| x | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | −1/3 | −1 | −3 |
Výsledek: H(f)= (−∞; 0) — protože 3ˣ je vždy kladné, −3ˣ je vždy záporné
Příklad 3: Sestrojte graf funkce f:y=(−2)x. Určete H(f).
Výsledek: Základ a = −2 není v povoleném rozmezí (0;1) ∪ (1;∞) — záporný základ mocninné/exponenciální funkci pro reálná x nedává smysl (např. (−2)^0,5 by muselo být odmocninou ze záporného čísla). Příklad nemá řešení.
Posunutí exponenciální funkce
Zadaná funkce ve tvaru f:y=ax+m+n se sestrojuje postupně, ve třech krocích:
- Základní funkce f1:y=ax — sestavíme pro ni tabulku a graf.
- Posun podél osy x: f2:y=ax+m. Je-li ve tvaru x+m, posuneme graf f1 doleva o m; je-li ve tvaru x−m, posuneme doprava o m.
- Posun podél osy y: f3:y=ax+m+n. Je-li +n, posuneme graf f2 nahoru o n; je-li −n, posuneme dolů o n. Tímto posunem vzniká nová vodorovná asymptota (obrazně „nová osa x”) v hodnotě y=n.
Funkce f3 je pak celý hledaný graf, tedy f3=f. Nakonec určíme D(f) a H(f) (i mezikroků f1, f2).
Ukázkový příklad
Sestrojte graf exponenciální funkce f:y=3x+1−2. Určete definiční obory a obory hodnot.
D(f)=R (není omezen zadáním). Nejprve sestrojíme graf základní funkce f1:y=3x:
| x | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 1/3 | 1 | 3 |
f2:y=3x+1 — graf f1 posunutý o 1 jednotku doleva. f3:y=3x+1−2 — graf f2 posunutý o 2 jednotky dolů, vzniká nová asymptota v y=−2.
Výsledek: D(f1)=D(f2)=D(f3)=R=D(f); H(f1)=H(f2)=(0;∞); H(f3)=(−2;∞)=H(f)
Příklady na procvičení (posunutí)
Příklad 1: Sestrojte graf funkce f:y=3x−2. Určete D a H všech funkcí.
Výsledek:
- f1:y=3x posuneme o 2 doprava → f2=f, žádný posun podle osy y
- D(f₁) = D(f₂) = D(f) = R
- H(f₁) = H(f₂) = H(f) = (0; ∞)
Příklad 2: Sestrojte graf funkce f:y=4x−1. Určete D a H všech funkcí.
Výsledek:
- f1:y=4x posuneme o 1 dolů (nový asymptot v y=−1) → f2=f
- D(f₁) = D(f₂) = D(f) = R
- H(f₁) = (0; ∞), H(f₂) = H(f) = (−1; ∞)
Příklad 3: Sestrojte graf funkce f:y=2x−4+3. Určete D a H všech funkcí.
Výsledek:
- f1:y=2x posuneme o 4 doprava → f2:y=2x−4, pak o 3 nahoru (nový asymptot v y=3) → f3=f
- D(f₁) = D(f₂) = D(f₃) = D(f) = R
- H(f₁) = H(f₂) = (0; ∞), H(f₃) = H(f) = (3; ∞)
Shrnutí
- Předpis: f:y=ax; podle základu a má exponenciální funkce dva tvary — a∈(0;1) klesá, a∈(1;∞) roste.
- Grafem je exponenciála.
- Posunutí: f:y=ax+m posouvá doleva (+m) nebo doprava (−m); f:y=ax+n posouvá nahoru (+n) nebo dolů (−n), přičemž vzniká nová asymptota v y=n.
Zdroje
HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6