Funkce nepřímá úměrnost

Pozn. k obsahu: Úlohy vycházely z grafů/obrázků, které nejsou součástí archivu — konkrétní zadané body a rovnice funkcí ale šlo ve všech případech spolehlivě zrekonstruovat z dochovaného postupu výpočtu.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Funkce nepřímá úměrnost

1) Bod $A [2; 2]$ leží na grafu funkce nepřímé úměrnosti $y = x k $ . a) Vypočtěte konstantu $k$ . b) Vypočtěte souřadnici $x$ bodu $P [x; 0, 5]$ a souřadnici $y$ bodu $Q [1; y]$ (oba body leží na stejném grafu).

Jaro 2012, příklad č. 7. Body: 3. Výsledek: a) $k = 4$ , b) $x = 8$ , $y = 4$ .

Řešení: a) $2 = 2 k / \cdot 2 ⟹ k = 4$ .

b) Rovnice funkce: $y = x 4 $ . Bod $P$ : $0, 5 = x 4 / \cdot x ⟹ 0, 5 x = 4 / : 0, 5 ⟹ x = 8$ . Bod $Q$ : $y = 14 = 4$ .

2) Z grafu je patrné, že na něm leží bod $[8; 3]$ (rovnice funkce $y = x k $ ) a bod $[5; b]$ . Vypočtěte hodnotu $b$ .

Jaro 2015, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: $b = 4, 8$ .

Řešení: $3 = 8 k / \cdot 8 ⟹ k = 24$ , tedy $y = x 24 $ . Pro bod $[5; b]$ : $b = 524 = 4, 8$ .

3) Funkce $f : y = - x 2 $ je definována pro všechna $x \in R ∖ 0$ .

a) Sestrojte graf funkce $f$ . Graf musí procházet body $A [-1; ]$ , $B [1; ]$ , $C [2; ]$ , jejichž chybějící souřadnice dopočtěte.

b) Zapište všechna $x$ , pro něž je hodnota funkce $f$ záporná ( $y < 0$ ).

Podzim 2017, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: b) $x \in (0; \infty)$ .

Řešení: a) dosazením do $y = - x 2 $ dostaneme $A [-1; 2]$ , $B [1; -2]$ , $C [2; -1]$ . Jde o funkci nepřímá úměrnost, grafem je hyperbola; protože $k = -2 < 0$ , větve hyperboly leží ve 2. a 4. kvadrantu.

b) Z grafu (i z výpočtu bodů) je vidět, že záporná funkční hodnota nastává pro $x \in (0; \infty)$ .

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Funkce je dána předpisem $y = x 2 $ .

a) V tabulce doplňte chybějící hodnoty funkce (body $[1; 2]$ , $[2; 1]$ , $[0, 5; 4]$ , $[4; 0, 5]$ atd.).

b) Sestrojte graf funkce pro $x > 0$ .

c) Pro kterou hodnotu proměnné $x$ je $y = 21 $ ?

2010 (2), příklad č. 5. Body: 3. Výsledek: c) $x = 4$ .

Řešení: a) bod leží na grafu funkce, když jeho souřadnice vyhovují rovnici $y = x 2 $ — odtud přímo doplníme chybějící hodnoty tabulky.

b) V tabulce je výhodnější volit čísla za tu proměnnou, která v rovnici $y = x 2 $ není osamostatněná (tedy za $x$ ). Kromě bodů $[1; 2]$ a $[2; 1]$ lze získat i další, např. $[0, 5; 4]$ , $[4; 0, 5]$ . Jde o nepřímou úměrnost, grafem je jedna větev hyperboly v 1. kvadrantu.

c) Dosadíme $y = 21 $ : $21 = x 2 / \cdot 2 x ⟹ x = 4$ .

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 18) Funkce nepřímá úměrnost.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/18) Funkce nepřímá úměrnost.pdf