Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu; výsledky úkolů (ověřeny přepočtem, souhlasí) do spoilerů. V zadání 4 byla v PDF u obsahu pláště chybně jednotka dm3 místo dm2 (obsah je vždy plošná veličina) — opraveno. PDF dále odkazovalo na program Cabri 3D pro interaktivní úkol 1, který proto nejde reprodukovat, ponechán jako historický záznam.
Rotační válec je těleso, které vznikne otáčením (rotací) obdélníku kolem jedné jeho strany (nebo kolem střední příčky). Válec je vymezen dvěma shodnými rovnoběžnými podstavami ve tvaru kruhu a pláštěm.
Poloměr podstavy značíme r, průměr podstavy d, vzdálenost mezi podstavami (výšku válce) v. Pokud plášť válce rozvineme do roviny, dostaneme obdélník, jehož jedna strana má délku v a druhá délku obvodu podstavy 2πr.
Sp=πr2Spl=2πrvS=2Sp+Spl=2πr2+2πrv=2πr(r+v)
V=Sp⋅v=πr2v
Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)
- V programu Cabri nakreslete válec o poloměru podstavy r=5 cm a výšce v=7 cm. Ve válci vyznačte výšku. Vypočtěte objem a povrch válce a své výsledky ověřte pomocí programu Cabri.
Příklady
1. V rotačním válci je dán objem V=498 cm3 a poloměr podstavy r=8,5 cm. Vypočtěte jeho výšku v a povrch S.
Výsledek: v = V/(πr²) = 498/(π·8,5²) ≈ 2,194 cm; S = 2πr(r+v) = 2π·8,5·(8,5+2,194) ≈ 571,135 cm²
2. Sud tvaru válce vysoký 2 m pojme 1,57 m3 oleje. Jaký je jeho vnitřní průměr?
Výsledek: r² = V/(πv) = 1,57/(π·2) ≈ 0,25 → r = 0,5 m → d = 1 m
3. Jaká bude spotřeba papíru na výrobu zkušební nádoby tvaru válce bez víka, která má mít objem 169,65 cm3 a hloubku 6 cm? Zanedbejte spotřebu na spoje, odpad atd.
Výsledek: r² = V/(πv) = 169,65/(π·6) ≈ 9 → r ≈ 3 cm; nádoba bez víka = jen jedna podstava + plášť: S = πr² + 2πrv = 9π + 36π = 45π ≈ 141,37 cm²
4. Obsah pláště válce je 20π dm2, poloměr podstavy 20 cm. Vypočtěte objem tohoto válce.
Výsledek: r = 20cm = 2dm; S_pl = 2πrv → 20π = 2π·2·v → v = 5 dm; V = πr²v = π·4·5 = 20π ≈ 62,83 dm³