Částečné odmocňování

Pozn. k obsahu: Zdrojový dokument obsahoval jen samotné zadání osmi výrazů bez jakékoli teorie k tématu — doplněna standardní teorie částečného odmocňování, na kterou zadání přímo navazuje.

Částečné odmocňování (částečná odmocnina) je úprava, při které odmocninu z čísla, jež samo o sobě není druhou mocninou celého čísla (tzv. “hezké” číslo), rozložíme na součin co největšího čtverce a zbytku — a odmocninu z toho čtverce pak “vytáhneme” před znak odmocniny.

Využíváme přitom vlastnost odmocniny součinu:

$\sqrt a \cdot b = \sqrt a \cdot \sqrt b (a, b \geq 0)$

Postup: Hledané číslo pod odmocninou rozložíme na součin největšího čtverce (druhé mocniny celého čísla), který ho dělí, a zbylého činitele.

Příklad: Částečně odmocněte $\sqrt 50$ .

Číslo $50$ rozložíme jako $25 \cdot 2$ , kde $25 = 52$ je největší čtverec dělící $50$ :

$\sqrt 50 = \sqrt 25 \cdot 2 = \sqrt 25 \cdot \sqrt 2 = 5 \sqrt 2$

Pozor na “největší” čtverec — např. $\sqrt 72$ lze sice rozložit i jako $\sqrt 4 \cdot 18 = 2 \sqrt 18$ , ale $\sqrt 18$ jde ještě dál zjednodušit ( $\sqrt 18 = 3 \sqrt 2$ ), takže $2 \sqrt 18 = 6 \sqrt 2$ . Přímo s největším čtvercem ( $36$ ) dostaneme výsledek rovnou: $\sqrt 72 = \sqrt 36 \cdot 2 = 6 \sqrt 2$ .

Příklady

Částečně odmocněte:

a) $\sqrt 18$ b) $\sqrt 72$ c) $\sqrt 300$ d) $\sqrt 80$ e) $\sqrt 175$ f) $\sqrt 52$ g) $\sqrt 108$ h) $\sqrt 245$

Výsledek: a) √18=√(9·2)=3√2; b) √72=√(36·2)=6√2; c) √300=√(100·3)=10√3; d) √80=√(16·5)=4√5; e) √175=√(25·7)=5√7; f) √52=√(4·13)=2√13; g) √108=√(36·3)=6√3; h) √245=√(49·5)=7√5

Zdroje

Zdrojový dokument: mat/částečně_odmocni.pdf