Odchylka dvou přímek v prostoru

Pozn. k obsahu: PDF odkazovalo na soubory pro program Cabri 3D, které nejsou součástí archivu. U jedné položky v posledním cvičení (b) se přesné značení bodů při převodu poškodilo natolik, že nejde spolehlivě určit, o které dvě přímky šlo — ponecháno bez výsledku.

Přímky v prostoru mohou mít čtyři vzájemné polohy: totožné, rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné (viz Vzájemná poloha přímek a rovin v prostoru).

Odchylka přímek totožných nebo rovnoběžných je vždy $0°$ .
Odchylka přímek různoběžných je úhel $φ \in ⟨0°; 90°⟩$ , který svírají.
Odchylku přímek mimoběžných spočteme tak, že:
- a) jednu z přímek rovnoběžně přesuneme (posuneme), aby ležela ve stejné rovině jako druhá — vznikne tak dvojice různoběžek se stejnou odchylkou, jako měly původní mimoběžky,
- b) u této dvojice různoběžek pak spočítáme odchylku běžným způsobem.

Ukázkové příklady

Příklad 1: Ve standardní krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek $A H$ a $D G$ .

Řešení: Přímky jsou rovnoběžné (obě spojují odpovídající vrcholy dolní a horní podstavy stejným směrem), jejich odchylka je tedy $0°$ .

Příklad 2: Ve standardní krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek $AG$ a $A C$ .

Řešení: Přímky jsou různoběžné (protínají se v bodě A), musíme zjistit velikost úhlu, který svírají. Pomůžeme si doplněním na pravoúhlý trojúhelník $A C G$ (pravý úhel je u vrcholu $C$ , protože $C G$ je svislá hrana kolmá na podstavu, ve které leží $A C$ ) a k dopočítání úhlu použijeme goniometrické funkce.

V trojúhelníku $A C G$ známe (pro hranu krychle $a$ ): $∣ A C ∣ = a \sqrt 2$ (tělesová úhlopříčka podstavy), $∣ C G ∣ = a$ (hrana), $∣ AG ∣ = a \sqrt 3$ (tělesová úhlopříčka krychle). Odchylku $∠ C AG$ dopočítáme např. přes tangens:

$t g (∠ C AG) = ∣ A C ∣ ∣ C G ∣ = a \sqrt 2 a = \sqrt 2 1 ⟹ ∠ C AG \approx 35°16’$

Příklad 3: Ve standardní krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek $A C$ a $F G$ .

Řešení: Přímky jsou mimoběžné (leží v různých podstavách a nejsou rovnoběžné), musíme je tedy převést do stejné roviny. Přímka $F G$ má stejný směr jako hrana $B C$ (obě spojují odpovídající vrcholy stejným směrem), a navíc $B C$ prochází bodem $C$ — společným s $A C$ . Odchylka $A C$ a $F G$ je proto stejná jako odchylka $A C$ a $B C$ , tedy úhel $∠ A C B$ .

Trojúhelník $A B C$ má pravý úhel u vrcholu $B$ (strany $A B ⟂ B C$ , obě hrany krychle), $∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = a$ . Jde tedy o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, takže:

$∠ A C B = 45°$

Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)

Ve standardní krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek $A C$ a $C G$ . V programu Cabri otevřete soubor krychle, zakreslete přímky a pomocí nástroje velikost úhlu ověřte řešení.

Výsledek: AC a CG jsou různoběžné (protínají se v C), CG je kolmá na podstavu, ve které leží AC, tedy odchylka = 90°
Ve standardní krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek $A H$ a $B C$ . V programu Cabri otevřete soubor krychle, zakreslete přímky a pomocí nástroje velikost úhlu ověřte řešení.

Výsledek: AH je stěnová úhlopříčka, BC je hrana kolmá na AB — přímky jsou mimoběžné; po přesunutí do společné roviny vychází odchylka 45°

Příklady

Mějme kvádr ABCDEFGH, kde $∣ A B ∣ = 6 cm, ∣ B C ∣ = 3 cm, ∣ A E ∣ = 2 cm$ . Vypočtěte:

a) odchylku přímek $A C$ a $AG$

Výsledek: AC (úhlopříčka podstavy) = √(6²+3²) = √45; AG (tělesová úhlopříčka) = √(6²+3²+2²) = √49 = 7; trojúhelník ACG má pravý úhel u vrcholu C (CG je svislá hrana kolmá na podstavu, v níž leží AC), tedy tg(∠CAG) = CG/AC = 2/√45 → ∠CAG ≈ 16°36’

b) odchylku dvou přímek (přesné zadání bodů se při převodu poškodilo natolik, že je nelze spolehlivě rekonstruovat)

c) odchylku přímek $B C$ a $E H$

Výsledek: BC (dir. rovnoběžný s AD/EH) a EH jsou rovnoběžné (obě odpovídají směru hrany BC/AD v různých podstavách) → odchylka 0°

d) odchylku přímek $A D$ a $B F$

Výsledek: AD leží v podstavě, BF je svislá hrana kolmá na podstavu → odchylka 90°