Analytická geometrie

Pozn. k obsahu: Úlohy vycházely z obrázků (body a přímky v souřadnicové soustavě), které nejsou součástí archivu. Konkrétní souřadnice bodů a vektorů použité v postupu řešení se ale téměř vždy dochovaly v textu, takže je šlo dopočítat i bez obrázku. Používané vzorce: velikost vektoru ∣u⃗∣=√u12​+u22​​; skalární součin u⃗⋅v⃗=u1​v1​+u2​v2​ (kolmé vektory mají skalární součin 0); obecná rovnice přímky ax+by+c=0 (kde (a;b) je normálový vektor); odchylka dvou přímek cosφ=√u12​+u22​​⋅√v12​+v22​​∣u1​v1​+u2​v2​∣​ (pro směrové nebo pro normálové vektory obou přímek, ne kombinovaně).

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Analytická geometrie

1) Vektor u⃗=(−3;4) je umístěn s počátečním bodem A[1;−1]. a) Znázorněte umístění vektoru v počátku. b) Určete souřadnice koncového bodu B.

Jaro 2011, příklad č. 7. Body: 3. Výsledek: b) B[−2;3].

Řešení: u⃗=B−A=(b1​−a1​;b2​−a2​). (−3;4)=(b1​−1;b2​−(−1))⟹b1​=−2, b2​=3. B[−2;3].

2) Přímka p prochází body A[−2;3], B[0;2], C[2;1]. Která rovnice ji určuje?

A) 2x−y+2=0 B) x−2y+4=0 C) x−4y−2=0 D) x+2y−4=0 E) 2x+y−2=0

Jaro 2011, příklad č. 17. Body: 2.

Řešení: směrový vektor s⃗=B−A=(2;−1), normálový n⃗=(1;2). p:x+2y+c=0; A∈p: −2+6+c=0⟹c=−4. p:x+2y−4=0.

3) Je dán vektor u⃗=(4;−3). a) Určete jeho velikost. b) Doplňte souřadnice vektoru v⃗=(x;y) kolmého k u⃗ s dvojnásobnou velikostí.

Podzim 2011, příklad č. 7. Body: 3. Výsledek: a) ∣u⃗∣=5, b) v⃗=(6;8) nebo (−6;−8).

Řešení: a) ∣u⃗∣=√42+(−3)2​=5.

b) prodloužený vektor: 2u⃗=(8;−6); přehozením souřadnic a změnou znaménka u jedné z nich dostaneme kolmý vektor stejné délky: (6;8) nebo (−6;−8).

4) Která z přímek a–e je kolmá k přímce p (procházející body A[−3;−2], B[0;0], C[3;2])?

A) 2x−3y+7=0 B) 2x+3y−7=0 C) 2x−3y−7=0 D) 3x−2y−7=0 E) 3x+2y+7=0

Podzim 2011, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: směrový vektor p: (3;2), normálový (2;−3). Kolmá přímka má normálový vektor rovnoběžný se směrovým vektorem p, tedy (3;2) nebo násobek — to odpovídá pouze možnosti E.

5) V rovině je dána přímka q:y=2x−1. Zapište obecnou rovnici přímky p procházející bodem O[0;0], kolmé k q.

Jaro 2012, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: x+2y=0.

Řešení: q:2x−y−1=0, normálový vektor q: (2;−1). Normálový vektor p (kolmé k q, tedy rovnoběžný se směrovým vektorem q): (1;2). p:x+2y+c=0; O∈p⟹c=0. p:x+2y=0.

6) Trojúhelník X[1;1], Y[2;8], Z[−6;2]. Narýsujte a rozhodněte: a) je rovnoramenný? b) je ostroúhlý? c), d) shoduje se pata výšky se středem protější strany?

Jaro 2012, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) ANO, b) NE, c) ANO, d) NE.

Řešení: úloha je čistě konstrukční (přesné rýsování pomocí trojúhelníku s ryskou, bez výpočtu) — rovnoramenný trojúhelník má dvě strany (ramena) stejně dlouhé; ostroúhlý má všechny vnitřní úhly menší než 90°; pata výšky je patní bod kolmice spuštěné z vrcholu na protější stranu.

7) Který ze zobrazených vektorů má souřadnice (2;−1)?

Jaro 2012, příklad č. 24. Body: 2. Výsledek: A.

Řešení: umístíme-li vektor počátečním bodem do počátku, souřadnice koncového bodu jsou přímo souřadnicemi vektoru — odpovídá vektoru A.

8) a) Sestrojte přímku p (prochází bodem A[2;−1], směrový vektor (−1;2)). b) Určete průsečík P s osou y.

Podzim 2012, příklad č. 7. Body: 2. Výsledek: P[0;3].

Řešení: normálový vektor p: (2;1). p:2x+y+c=0; A∈p: 4−1+c=0⟹c=−3. p:2x+y−3=0. Průsečík s osou y (x=0): y=3. P[0;3].

9) Trojúhelník A[0;1], B[3;−1], C[2;3]. Výška z C leží na přímce p. Její rovnice je:

A) 3x−2y=0 B) 3x+2y−12=0 C) 2x−3y=0 D) 2x−3y+5=0 E) 2x+3y−13=0

Podzim 2012, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: normálový vektor p = směrový vektor AB=(3;−2). p:3x−2y+c=0; C∈p: 6−6+c=0⟹c=0. p:3x−2y=0.

10) Přímka p:x=2t, y=4+3t. Zapište její obecnou rovnici.

Jaro 2013, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: 3x−2y+8=0.

Řešení: vyloučením parametru (x/2=t=(y−4)/3): 3x=2y−8⟹3x−2y+8=0.

11) a) Sestrojte trojúhelník ABC (C[−1;3], CB⃗=(2;−3)). b) Určete střed S strany AC (kde A[−2;−1]).

Jaro 2013, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: b) S[−1,5;1].

Řešení: B=C+(2;−3)=[1;0]. S=[2a1​+c1​​;2a2​+c2​​]=[2−2−1​;2−1+3​]=[−1,5;1].

12) Čtverec ABCD s úhlopříčkou AC, A[−4;0], AC⃗=(6;4). Souřadnice středu S?

A) S[1;2] B) S[3;2] C) S[2;4] D) S[−1;2] E) S[5;−2]

Podzim 2013, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: C=A+(6;4)=[2;4]. S=[2−4+2​;20+4​]=[−1;2].

13) Jakou rovnici má osa o úsečky AB (kde AB⃗=(0;−6), střed S[−2;0])?

A) x+6y=0 B) 4x−6y=0 C) y=0 D) x=−2 E) jinou rovnici

Podzim 2013, příklad č. 21. Body: 2.

Řešení: normálový vektor osy = AB⃗=(0;−6). o:−6y+c=0; S∈o: c=0. o:y=0 (osa AB je zde přímo osa x).

14) Určete vzdálenost bodu A[1;−2] od přímky BC, kde AB⃗=(−4;2), AC⃗=(−4;3).

Jaro 2014, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: 4.

Řešení: B=A+(−4;2)=[−3;0], C=A+(−4;3)=[−3;1]. Přímka BC je rovnoběžná s osou y (x=−3); vzdálenost od A (x=1) je ∣1−(−3)∣=4.

15) Trojúhelník A[4;−3], B[4;3], C[2;1]. Jaká je vzdálenost A od středu S strany BC?

A) 4 B) √17 C) 5 D) √26 E) jiná vzdálenost

Jaro 2014, příklad č. 23. Body: 2.

Řešení: S=[24+2​;23+1​]=[3;2]. AS⃗=(−1;5). ∣AS⃗∣=√1+25​=√26.

16) a) Zapište souřadnice vektoru u⃗ (koncový bod [3;−2], počáteční [0;−2]). b) Platí w⃗=u⃗+v⃗, kde v⃗=(−2;3). Zapište souřadnice w⃗.

Podzim 2014, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) (3;0), b) (1;3).

Řešení: a) u⃗=(3;−2)−(0;−2)=(3;0).

b) w⃗=u⃗+v⃗=(3;0)+(−2;3)=(1;3).

17) Body K[3;y], L[x;8] leží na přímce p:x=3−5t, y=−4−12t. Jaká je délka úsečky KL?

A) 13 B) √73 C) √40 D) 5 E) jiná délka

Podzim 2014, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: bod K (x=3): 3=3−5t⟹t=0⟹y=−4; K[3;−4]. Bod L (y=8): 8=−4−12t⟹t=−1⟹x=8; L[8;8]. KL⃗=(5;12), ∣KL⃗∣=√25+144​=13.

18) a) Určete směrový vektor přímky AB (A[−2;3], AD⃗=(1;2) je normálový vektor AB). b) Určete vrchol B (průsečík AB s osou x).

Jaro 2015, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) násobky (2;−1), b) B[4;0].

Řešení: a) směrový vektor AB je kolmý na (1;2), tedy (2;−1).

b) AB:x+2y+c=0; A∈AB: −2+6+c=0⟹c=−4. AB:x+2y−4=0. Průsečík s y=0: x=4. B[4;0].

19) Přímka p:x=−1+t, y=1+2t. Na kterém obrázku je?

Jaro 2015, příklad č. 20. Body: 2. Výsledek: C.

Řešení: na p leží bod [−1;1], směrový vektor (1;2) — odpovídá obrázku C.

20) a) Vypočtěte chybějící souřadnici a bodu A[a;−1]. b) Vypočtěte chybějící souřadnici b bodu B[4;b], kde AB⃗=(5;3).

Podzim 2015, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) a=−1, b) b=2.

Řešení: (5;3)=(4−a;b−(−1))⟹5=4−a⟹a=−1; 3=b+1⟹b=2.

21) Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při C: A[−1;2], C[−5;−2]. Vypočtěte délku AB.

Podzim 2015, příklad č. 10. Body: 2. Výsledek: 8 jednotek.

Řešení: AC⃗=(−4;−4), ∣AC⃗∣=√32. Protože ∣AC∣=∣BC∣ (rovnoramenný): Pythagorova věta ∣AB∣2=32+32=64⟹∣AB∣=8.

22) Přímka p:−12x+4y−5=0. Která z přímek zadaných parametricky je s p rovnoběžná?

A) s⃗=(3;−1) B) s⃗=(3;1) C) s⃗=(−1;3) D) s⃗=(1;3) E) s⃗=(−5;−5)

Podzim 2015, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: normálový vektor p: (−12;4). Hledáme směrový vektor rovnoběžný s p, tedy kolmý na její normálový vektor (skalární součin roven 0): (−12;4)⋅(1;3)=−12+12=0 ✓ — pouze u D.

23) Body K[0;−3], L. Zapište obecnou rovnici přímky KL, kde KL⃗=(5;3).

Jaro 2016, příklad č. 8.3. Body: 1. Výsledek: 3x−5y−15=0.

Řešení: normálový vektor: (3;−5). KL:3x−5y+c=0; K∈KL: 0+15+c=0⟹c=−15. KL:3x−5y−15=0.

24) Vektory u⃗=(1;2), v⃗=(3;0). Doplňte souřadnice: a) 2u⃗, b) u⃗+v⃗, c) vektor kolmý k u⃗.

A) (4;2) B) (2;4) C) (2;−4) D) (−2;−4) E) (−4;2)

Jaro 2016, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) B, b) A, c) E.

Řešení: a) 2u⃗=(2;4). b) u⃗+v⃗=(4;2). c) (−4;2)⋅(1;2)=−4+4=0 — kolmé.

25) a) Sestrojte přímky p (bodem A, směrový vektor daný), q (bodem B[−2;3], kolmá k p). b) Zapište obecnou rovnici q.

Podzim 2016, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: b) q:y−3=0.

Řešení: normálový vektor q je rovnoběžný se směrovým vektorem p, zde (0;−2). q:−2y+c=0; B∈q: −6+c=0⟹c=6. q:−2y+6=0⟹y=3.

26) Bod P[3;−5]. Prochází jím přímka a)–d)?

a) x−5=0 b) y=−35​x (rekonstrukce ze sklonu) c) 3x+5y+16=0 d) x=3, y=t

Podzim 2016, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) N, b) A, c) A, d) A.

Řešení: a) 3−5=−2=0 — N. b) −5=−35​⋅3=−5 — A. c) 9−25+16=0 — A. d) první rovnice 3=3 pravdivá bez ohledu na t, bod na přímce leží — A.

27) Body A, B dány tak, že AB⃗=(2√5;−2√2). Jaký obvod má čtverec ABCD?

A) 8√5 B) 22 C) 8√7 D) 28 E) nelze určit

Podzim 2016, příklad č. 17. Body: 2.

Řešení: a=∣AB⃗∣=√20+8​=√28=2√7. o=4a=8√7.

28) Čtverec ABCD, A[−1;1], AC⃗=(6;4). a), b) Sestrojte a určete střed S. c) Vypočtěte ∣AB⃗∣.

Jaro 2017, příklad č. 8. Body: 3. Výsledek: b) S[2;3], c) √26 jednotek.

Řešení: C=A+(6;4)=[5;5]. S=[2−1+5​;21+5​]=[2;3].

c) ∣AC⃗∣=√36+16​=√52. Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC: 52=2x2⟹x2=26⟹x=√26.

29) a) Zapište obecnou rovnici přímky p (body A[0;2], B[6;4]). b) Vypočtěte odchylku p od osy x.

Jaro 2017, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) p:x−3y+6=0, b) 18°26’.

Řešení: a) AB⃗=(6;2), normálový (2;−6). p:2x−6y+c=0; A∈p: c=12. p:2x−6y+12=0⟹x−3y+6=0.

b) tg,α=62​=31​≈0,333⟹α≈18°26’.

30) Určete souřadnice w⃗=u⃗+v⃗, kde u⃗=(6;3), v⃗=(2;−4).

Podzim 2017, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: (8;−1).

Řešení: w⃗=(6+2;3−4)=(8;−1).

31) Doplňte souřadnice bodů K[−2;y], L[x;−4] na přímce p:x=−4+2t, y=1−t.

Podzim 2017, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: K[−2;0], L[6;−4].

Řešení: K: −2=−4+2t⟹t=1⟹y=0. L: −4=1−t⟹t=5⟹x=−4+10=6.

32) Přímka p prochází B[2;1], kolmá k AB (A[−3;−1]). Která rovnice ji určuje?

A) 5x−2y−8=0 B) 5x+2y−12=0 C) 2x−5y+1=0 D) 2x+5y−9=0 E) žádná z uvedených

Podzim 2017, příklad č. 23. Body: 2.

Řešení: normálový vektor p=AB⃗=(5;2). p:5x+2y+c=0; B∈p: 10+2+c=0⟹c=−12. p:5x+2y−12=0.

Příklady z testů PUP

1p) Vektor u⃗=(6;−4). a) Doplňte x ve v⃗=(x;2), násobku u⃗. b) Doplňte y ve w⃗=(4;y), kolmém k u⃗.

Jaro 2011 PUP, příklad č. 7. Body: 2. Výsledek: a) x=−3, b) y=6.

Řešení: a) (−2)⋅x=6⟹x=−3 (z poměru druhých souřadnic $2=(-2)\cdot(-4)/… $, přesněji v⃗=ku⃗ s k=−1/2).

b) u⃗⋅w⃗=0: 6⋅4+(−4)y=0⟹24=4y⟹y=6.

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Přímka p:x=3t, y=4−2t. a) Určete směrový vektor. b) Určete průsečík P s osou x.

2010 (1), příklad č. 7. Body: 2. Výsledek: a) (3;−2), b) P[6;0].

Řešení: b) y=0: 0=4−2t⟹t=2⟹x=6. P[6;0].

2i) Body A, B jsou sousední vrcholy čtverce, AB⃗=(5;−7). Vypočtěte obsah čtverce.

2010 (2), příklad č. 7. Body: 2. Výsledek: 74 jednotek².

Řešení: a=∣AB⃗∣=√25+49​=√74. S=a2=74.

3i) Přímka p prochází A[0;2], směrový vektor (1;−1). Vyberte rovnici.

A–C, E) (nedochováno) D) x+y−2=0

2010 (2), příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: normálový vektor (1;1). p:x+y+c=0; A∈p: c=−2. p:x+y−2=0.

4i) Uveďte rovnici přímky p (body A[0;2], B[3;0]).

2011, příklad č. 7. Body: 2. Výsledek: 2x+3y−6=0.

Řešení (směrnicový tvar): k=−32​ (z bodu [3;0]: 0=3k+2). p:y=−32​x+2, po úpravě 2x+3y−6=0.

5i) Orientovaná úsečka s počátkem P[4;−1] je umístěním vektoru u⃗=(2;−7). Který bod je koncový?

A–C) (nedochováno) D) X[6;−8]

2011, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: X=P+u⃗=[4+2;−1−7]=[6;−8].

6i) a) Zapište obecnou rovnici přímky p (bod A[−2;−1], normálový vektor (1;2)). b) Narýsujte.

2012, příklad č. 7. Body: 4. Výsledek: a) p:x+2y+4=0.

Řešení: p:x+2y+c=0; A∈p: −2−2+c=0⟹c=4. p:x+2y+4=0.

7i) a) Sestrojte B, D čtyřúhelníku ABCD (úhlopříčky se půlí, AC⃗ zjištěno). b) Vypočtěte délku BD, kde BD⃗=(−4;2).

2013, příklad č. 8. Body: 3. Výsledek: b) ∣BD∣=2√5.

Řešení: ∣BD⃗∣=√16+4​=√20=2√5.

8i) Přímka q s normálovým vektorem (2;−1), přímka p:x=3−2t, y=t. Jaká je jejich odchylka?

A) 0° B) 30° C) 45° D) 60° E) 90°

2013, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: směrový vektor p: (−2;1). Vektory (2;−1) a (−2;1) jsou násobky (rovnoběžné) — normálový vektor q je tedy rovnoběžný se směrovým vektorem p, což znamená p⟂q. Odchylka =90°.

9i) Přímka p (směrový vektor (2;−1)), přímka q:y=0. Do kterého intervalu patří odchylka φ?

A) ⟨0°;36°) B–E) (nedochováno)

2014 (1), příklad č. 21. Body: 2. Výsledek: φ≈27°.

Řešení: normálový vektor q: (0;1); směrový vektor q: (1;0). cosφ=√5⋅√1∣2⋅1+(−1)⋅0∣​=√52​≈0,894⟹φ≈27°.

10i) Rovnoběžník ABCD, A[−1;−2], C[3;2] (dopočteno z rovnoběžnosti stran). Která rovnice určuje AC?

A) x+y+3=0 B) x−y−1=0 C) x−2y−3=0 D) 2x−y=0 E) žádná z uvedených

2014 (1), příklad č. 22. Body: 2.

Řešení: AC⃗=(4;4), normálový (4;−4). AC:4x−4y+c=0; A∈AC: −4+8+c=0⟹c=−4. /:4: x−y−1=0.