Pozn. k obsahu: Klasická pravděpodobnost se počítá jako P(A)=počet možných elementárních jevů (MEJ)počet příznivých elementárních jevů (PEJ). Konkrétní zlomkové hodnoty se v PDF často ztratily jako vzorcové objekty, ale počty (PEJ, MEJ) zůstaly dochované v textu, takže výsledné zlomky šlo dopočítat.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Pravděpodobnost
1) Ze 52 karet bylo odebráno 7. Mezi zbývajícími je 9 srdcových. Jaká je pravděpodobnost, že v dalším tahu nebude vytažena srdcová karta?
Jaro 2012, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: 4536=0,8.
Řešení: zbývá 52−7=45 karet (MEJ). Nesrdcových je 45−9=36 (PEJ). P(A)=4536=0,8.
2) V osudí jsou 2 bílé a 3 černé koule, vytahují se bez vracení. Přiřaďte jevům a)–c) pravděpodobnost:
a) První tažená koule bude bílá. b) První dvě tažené koule budou černé. c) V první tažené dvojici budou obě barvy.
Podzim 2012, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) 52, b) 103, c) 53.
Řešení: a) PEJ =2 (bílé koule), MEJ =5: P=52.
b) PEJ =(20)⋅(32)=1⋅3=3; MEJ =(52)=10: P=103.
c) PEJ =(21)⋅(31)=2⋅3=6; MEJ =10: P=106=53.
3) Ze 25 žáků je 10 dobře připraveno. Vylosuje se 5 ke zkoušení. Jaká je pravděpodobnost, že první vylosovaný je dobře připraven?
A) 0,05 B) 0,2 C) 0,4 D) 0,5 E) více než 0,5
Jaro 2013, příklad č. 23. Body: 2.
Řešení (“chyták” — údaj o pěti žácích je nepodstatný): PEJ =10, MEJ =25: P=2510=0,4.
4) Hází se šestistěnnou kostkou. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení o pravděpodobnostech:
a) padne sudé číslo b) padne číslo větší než 4 c) padne číslo menší než 3 d) nepadne číslo 6
Jaro 2014, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) ANO, b) NE, c) ANO, d) NE.
Řešení: a) PEJ 2,4,6: P=63=21 — tvrzení pravdivé.
b) PEJ 5,6: P=62=31 — nesouhlasí s tvrzenou hodnotou.
c) PEJ 1,2: P=62=31 — tvrzení pravdivé.
d) PEJ 1,2,3,4,5: P=65 — nesouhlasí s tvrzenou hodnotou.
5) Hodí se kostkou a mincí. Jaká je pravděpodobnost, že padne šestka a orel?
A–D) (nedochováno) E) 121
Podzim 2014, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení (pravděpodobnost průniku nezávislých jevů P(A∩B)=P(A)⋅P(B)): P(A)=61 (šestka), P(B)=21 (orel). P(A∩B)=61⋅21=121.
6) Ze 3 chlapců a 4 dívek se losují 2 hráči (kapitán, kormidelník). Jaká je pravděpodobnost, že kapitánem bude chlapec?
A) (nedochováno) B) 73 C–E) (nedochováno)
Jaro 2016, příklad č. 24. Body: 2.
Řešení (“chyták” — druhé losování je nepodstatné): PEJ =3, MEJ =7: P=73.
7) Z 50 cyklistů se 10 provinilo. Vybere se 5. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude žádný provinilec?
A) 0,31 B) 0,40 C) 0,49 D) 0,58 E) jiná pravděpodobnost
Podzim 2016, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení: PEJ =(100)⋅(405)=1⋅658,008=658,008; MEJ =(505)=2,118,760. P=2,118,760658,008≈0,31.
8) Z 25 žáků 3 úkol nevypracovali, 6 vypracovalo chybně, zbytek správně. Vybere se dvojice. Jaká je pravděpodobnost, že oba mají úkol správně?
A) 52 B–E) (nedochováno)
Jaro 2017, příklad č. 20. Body: 2.
Řešení: správně vypracovalo 25−3−6=16 žáků. PEJ =(30)⋅(60)⋅(162)=1⋅1⋅120=120; MEJ =(252)=300. P=300120=0,4.
9) Z čísel 1–100 se vybere jedno. a) Pravděpodobnost dělitelnosti osmi? b) Dělitelnosti dvěma, ale ne osmi?
Podzim 2017, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) 0,12, b) 0,38.
Řešení: a) násobků 8 je 12 (8 až 96): P=10012=0,12.
b) násobků 2 je 50, z toho 12 je i násobkem 8: PEJ =50−12=38: P=10038=0,38.
10) Výprava (1 řidič, 2 učitelky, 27 studentů) má 30 vstupenek, losují se 4 ceny. Jaká je pravděpodobnost, že všechny získají studenti?
A) 0,12 B) 0,15 C) 0,64 D) 0,68 E) jiná pravděpodobnost
Podzim 2017, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení: PEJ =(10)⋅(20)⋅(274)=1⋅1⋅17,550=17,550; MEJ =(304)=27,405. P=27,40517,550≈0,64.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) Pravděpodobnost, že přijde dívka, je 0,6; malá dívka 0,4; malý chlapec 0,3. Určete pravděpodobnost:
a) přijde chlapec b) přijde velká dívka c) přijde malé dítě d) nepřijde malá dívka
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 F) 0,7
2010 (2), příklad č. 12. Body: 4. Výsledek: a) C, b) A, c) F, d) E.
Řešení: chlapec =1−0,6=0,4; velká dívka =0,6−0,4=0,2; velký chlapec =0,4−0,3=0,1. Součet čtyř skupin: 0,4+0,2+0,3+0,1=1 ✓.
a) 0,4. b) 0,2. c) malé dívky + malí chlapci =0,4+0,3=0,7. d) 1−0,4=0,6.
2i) Ze 3 dívek a 6 chlapců se losuje 5 dětí. Přiřaďte jevům a)–c) pravděpodobnost:
a) první je dívka b) všech 5 jsou chlapci c) jsou 2 dívky a 3 chlapci
2013, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) B (31), b) A (211), c) E (2110).
Řešení: a) PEJ =3, MEJ =9: P=31.
b) PEJ =(30)⋅(65)=1⋅6=6; MEJ =(95)=126: P=1266=211.
c) PEJ =(32)⋅(63)=3⋅20=60; MEJ =126: P=12660=2110.
3i) V osudí jsou 2 bílé a 4 modré koule, vytáhnou se 4. Přiřaďte jevům a)–c) pravděpodobnost:
a) zbydou 2 bílé b) zbydou 2 modré c) zbydou 2 stejné barvy
2014 (1), příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) A (151), b) E (52), c) C (157).
Řešení: a) zbydou 2 bílé ⟹ vytaženo 0 bílých, 4 modré: PEJ =(20)⋅(44)=1; MEJ =(64)=15: P=151.
b) zbydou 2 modré ⟹ vytaženy 2 bílé, 2 modré: PEJ =(22)⋅(42)=1⋅6=6; MEJ =15: P=156=52.
c) jevy z a) a b) se vzájemně vylučují (P(A∩B)=0): P(A∪B)=P(A)+P(B)−0=151+156=157.
4i) Hází se červenou a zelenou kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že na červené padne číslo větší než 2?
A) menší než ½ B–C) (nedochováno) D) 32 E) více než ⅔
2014 (2), příklad č. 23. Body: 2.
Řešení: zelená kostka pravděpodobnost na červené neovlivňuje (nezávislé jevy). PEJ 3,4,5,6: P=64=32.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 32) Pravděpodobnost.pdf.