Pozn. k obsahu: Několik úloh (2, 3, 8, 4i, 8i, 9i, 10i) vycházelo z obrázků (mapy, číselné osy s vyznačenými díly, geometrické konstrukce), které nejsou součástí archivu — u těch, kde chybí i klíčová čísla, je ponechán jen dochovaný výsledek a obecný postup bez fabrikace přesného zadání.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Ostatní úlohy
1) Přiřaďte k zápisům a)–c) hodnotu x, aby platila rovnost:
a) ∣x−30∣=0 b) ∣x−30∣=x c) x+30=∣x∣
A) x=−30 B) x=−15 C) x=15 D) x=30 E) rovnost neplatí pro žádné z uvedených
Podzim 2011, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) D, b) C, c) B.
Řešení: místo řešení rovnic s absolutní hodnotou je výhodnější postupovat obráceně — do každé rovnice postupně dosadíme kandidátní čísla −30,−15,15,30 a ověříme, které vyhovuje. a) x=30 vyhovuje (∣30−30∣=0). b) x=15 vyhovuje (∣15−30∣=15). c) x=−15 vyhovuje (−15+30=15=∣−15∣).
2) Zaokrouhlete na desítky výsledek číselného výrazu (dva periodické desetinné zlomky). Přesné zadání se nedochovalo.
Jaro 2013, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: 4 750.
Řešení (dochovaný postup): výraz ≈105⋅(0,2525252−0,2050505)=105⋅0,0474747≈4,747,47≈4,750.
3) Ve kterém domě bydlí Martin (geometrická úloha s mapou domů a věží V)?
A) dům A B) dům B C) dům C D) dům D E) jiný dům
Podzim 2013, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: sestrojíme polopřímky AV,BV,CV,DV a jejich průsečíky s přímkou p — hledaným bodem je ten, ke kterému mají chlapci k věži V stejně daleko: bod B.
(Alternativně: sestrojíme obraz p’ přímky p ve středové souměrnosti se středem V; p’ protne přímku m v hledaném bodě B.)
4) Zapište číslo, jehož obrazem je bod X na číselné ose (mezi obrazy −7 a 5 jsou 2 díly, mezi 5 a X jsou 3 díly).
Jaro 2015, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: 23.
Řešení: rozdíl mezi −7 a 5 je 12, rozdělený na 2 díly ⟹ 1 díl =6 jednotek. Mezi 5 a X jsou 3 díly =18 jednotek: 5+18=23.
5) Uveďte všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 3.
Jaro 2015, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: −2;−1;0;1;2.
Řešení: absolutní hodnota je vzdálenost obrazu čísla od obrazu čísla 0 (vždy ≥0). Hledáme celá čísla vzdálená od 0 méně než 3 jednotky: −2,−1,0,1,2 (čísla −3 a 3 nevyhovují — jejich absolutní hodnota je přesně 3, ne méně).
6) Na číselné ose je obraz čísla 1. Které z čísel má obraz nejdále od obrazu čísla 1?
A) −√3 B) −2π C) 2π D) π−1 E) 1−π
Podzim 2016, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: −√3≈−1,732, vzdálenost od 1 ≈2,732. −2π≈−1,57, vzdálenost ≈2,57. 2π≈1,57, vzdálenost ≈0,57. π−1≈2,14, vzdálenost ≈1,14. 1−π≈−2,14, vzdálenost ≈3,14 — největší.
7) Která rovnice odpovídá naznačenému schématu (4 políčka, postupné operace proti směru hodinových ručiček: x→x−5→(x−5)⋅2→(x−5)⋅2+7, poslední krok dává zpět x)?
A) y=3x+1 B–E) (nedochováno)
Podzim 2016, příklad č. 23. Body: 2. Výsledek: A.
Řešení: poslední políčko (x−5)⋅2+7 je vstupem do finálního kroku, jehož výsledek y (neznámé číslo) splňuje 3y−1=x⟹y−1=3x⟹y=3x+1.
8) Zapište číslo m (ze vztahu se součinem a převrácenou hodnotou). Přesné zadání se nedochovalo, dochovaly se jen závěrečné kroky.
Jaro 2017, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: m=101.
Řešení (dochovaný závěr): 1,000m3=1⟹m3=1,0001⟹m=101.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) Jaký je nejmenší společný násobek n čísel 30, 25 a 180?
2010 (1), příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: n=900.
Řešení (1. způsob — násobky největšího čísla): 180,360,540,720,900 — první násobek 180, který je zároveň násobkem i 30 a 25, je 900.
Řešení (2. způsob — rozklad na prvočísla): 30=2⋅3⋅5, 25=5⋅5, 180=2⋅2⋅3⋅3⋅5. Z rozkladů vybereme nejpočetnější skupiny každého prvočísla (dvojek nejvíc v 180, trojek nejvíc v 180, pětek nejvíc v 25): 2⋅2⋅3⋅3⋅5⋅5=900.
2i) Určete reálné číslo r=2∣3−π∣+∣8−2π∣.
2010 (1), příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: r=2.
Řešení: π≈3,14, tedy (3−π) je záporné: ∣3−π∣=π−3. (8−2π) je nezáporné: ∣8−2π∣=8−2π. r=2(π−3)+(8−2π)=2π−6+8−2π=2.
3i) Vypočtěte z∈R: z=log318−log32.
2010 (1), příklad č. 4. Body: 2. Výsledek: z=2.
Řešení (2. větou o logaritmech): z=log3218=log39=2.
4i) Vyznačte na číselné ose obrazy dvou čísel (osa rozdělená na díly, 8 dílků odpovídá určité zadané hodnotě). Přesná zadaná čísla se nedochovala.
2010 (2), příklad č. 1. Body: 2.
Řešení (obecný postup): zjistíme, kolik jednotek představuje 1 dílek (celková hodnota dělená počtem dílků), převedeme všechny zadané zlomky na společného jmenovatele odpovídajícího počtu dílků na ose, a podle výsledného počtu dílků body na osu vyznačíme.
5i) Na číselné ose vyznačte interval ⟨2−n;n−3⟩ pro n=5.
2012, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: ⟨−3;2⟩.
Řešení: 2−5=−3, 5−3=2. Interval ⟨−3;2⟩ je uzavřený, krajní body jsou tedy vyznačeny plným kroužkem.
6i) Najděte nejmenší přirozené číslo n, pro které existuje interval ⟨2−n;n−3⟩.
2012, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: n=3.
Řešení: interval existuje, jen když je první číslo menší než druhé. n=1: 2−1=1, 1−3=−2 — nevyhovuje (1>−2). n=2: 0, −1 — nevyhovuje. n=3: 2−3=−1, 3−3=0 — už vyhovuje (−1<0). Hledaný interval: ⟨−1;0⟩.
7i) Pro a>0 vypočtěte: loga4−log400+loga.
2012, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: −2.
Řešení (2. větou): loga4=log4−loga. Dosazením: (log4−loga)−log400+loga=log4−log400=log4004=log1001=−2 (protože 10−2=1001).
8i) Vyznačte na číselné ose obraz periodického čísla. Přesné zadané číslo se nedochovalo.
2014 (1), příklad č. 1. Body: 1.
Řešení (obecný postup): periodické číslo lze převést na zlomek; zjistíme, kolik jednotek odpovídá jednomu dílku na ose, převedeme zadaná čísla na společného jmenovatele odpovídajícího počtu dílků a vyznačíme.
9i) a) V polorovině BCA sestrojte množinu bodů $A^$, které jsou vrcholem trojúhelníku $A^BC$ s pravým úhlem při B. b) V polorovině BCD sestrojte množinu D bodů $D^$ s pravým úhlem při $D^$.
2014 (1), příklad č. 14. Body: 2.
Řešení: a) hledaná množina je polopřímka BA bez bodu B (ten je vyznačen prázdným kroužkem) — pro každý bod na ní má trojúhelník A∗BC pravý úhel při B.
b) podle Thaletovy věty: nad úsečkou BC jako průměrem sestrojíme kružnici (střed S je střed BC) — pro každý bod $D^$ této kružnice (kromě B,C) má trojúhelník $BCD^$ pravý úhel při D∗. V polorovině BCD jde jen o příslušnou polokružnici bez bodů B,C.
10i) a) Sestrojte množinu P bodů se stejnou vzdáleností od přímek p1, p2. b) Sestrojte množinu M bodů se stejnou vzdáleností od bodů M1, M2.
2014 (2), příklad č. 15. Body: 2.
Řešení: a) hledaná množina je osa úhlu sevřeného přímkami p1, p2.
b) hledaná množina je osa úsečky M1M2 (přímka procházející jejím středem, kolmá na ni).
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 30) Ostatní úlohy.pdf.