Operace s vektory · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) a odkaz na chybějící obrázek — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

První setkání s vektory — fyzika

S vektory se poprvé setkáváme ve fyzice — u veličin, u kterých kromě velikosti musíme znát i směr (a často i umístění — působiště): síla, rychlost, zrychlení, moment síly, magnetická indukce a mnoho dalších. Na rozdíl od nich jsou např. teplota nebo hmotnost tzv. skalární veličiny — stačí u nich jediné číslo.

Vektor v matematice

Vektor je množina všech rovnoběžných, stejně velkých orientovaných úseček stejného směru — tedy libovolná konkrétní orientovaná úsečka $A B$ je jen jedním z “reprezentantů” daného vektoru; posunutím do jiného místa (při zachování délky a směru) dostaneme stejný vektor.

Zápis a souřadnice vektoru

Vektor daný orientovanou úsečkou od bodu $A$ (počátek) k bodu $B$ (konec) značíme $u ⃗ = A B$ . Jeho souřadnice spočítáme jako rozdíl souřadnic koncového a počátečního bodu:

$u ⃗ = A B = B - A = (x B - x A ; y B - y A )$

Vektor u = AB, A=[1;1], B=[5;3] → u = (4;2)

Příklad: Pro $A = [1; 1]$ , $B = [5; 3]$ je $u ⃗ = A B = (5 - 1; 3 - 1) = (4; 2)$ .

Souřadnice vektoru jsou nezávislé na tom, kterou konkrétní úsečku (reprezentanta) použijeme — vektor $C D$ pro $C = [0; 0]$ , $D = [4; 2]$ má stejné souřadnice $(4; 2)$ , i když leží jinde v rovině.

Velikost vektoru

Velikost (délka) vektoru $u ⃗ = (u 1 ; u 2 )$ se počítá stejně jako vzdálenost dvou bodů (viz Úsečka, střed a délka úsečky):

$∣ u ⃗ ∣ = \sqrt u 12 + u 22 $

Příklad: $∣ u ⃗ ∣ = ∣(4; 2)∣ = \sqrt 16 + 4 = \sqrt 20 = 2 \sqrt 5 \approx 4, 47$

Násobení vektoru číslem

Vektor $u ⃗ = (u 1 ; u 2 )$ vynásobený reálným číslem $k$ je vektor se souřadnicemi vynásobenými stejným číslem:

$k \cdot u ⃗ = (k \cdot u 1 ; k \cdot u 2 )$

Geometricky $k$ mění délku vektoru $k$ -krát; je-li $k < 0$ , vektor navíc změní směr na opačný (otočí se o $180°$ ).

Příklady

1. Určete souřadnice a velikost vektoru $v ⃗ = P Q $ , kde $P = [-2; 3]$ , $Q = [1; -1]$ .

Výsledek: ||v = Q-P = (1-(-2); -1-3) = (3;-4); |v| = √(9+16) = √25 = 5||

2. Je dán vektor $u ⃗ = (6; -8)$ . Vypočítejte souřadnice vektoru $2 u ⃗$ a $- 21 u ⃗$ .

Výsledek: 2u = (12;-16); -½u = (-3;4)

3. Bod $A = [3; -1]$ a vektor $u ⃗ = (2; 5)$ . Určete souřadnice bodu $B$ , pro který platí $A B = u ⃗$ .

Výsledek: B = A + u = (3+2; -1+5) = [5;4]

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.