Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) a odkaz na chybějící obrázek — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.
První setkání s vektory — fyzika
S vektory se poprvé setkáváme ve fyzice — u veličin, u kterých kromě velikosti musíme znát i směr (a často i umístění — působiště): síla, rychlost, zrychlení, moment síly, magnetická indukce a mnoho dalších. Na rozdíl od nich jsou např. teplota nebo hmotnost tzv. skalární veličiny — stačí u nich jediné číslo.
Vektor v matematice
Vektor je množina všech rovnoběžných, stejně velkých orientovaných úseček stejného směru — tedy libovolná konkrétní orientovaná úsečka AB je jen jedním z “reprezentantů” daného vektoru; posunutím do jiného místa (při zachování délky a směru) dostaneme stejný vektor.
Zápis a souřadnice vektoru
Vektor daný orientovanou úsečkou od bodu A (počátek) k bodu B (konec) značíme u⃗=AB. Jeho souřadnice spočítáme jako rozdíl souřadnic koncového a počátečního bodu:
u⃗=AB=B−A=(xB−xA; yB−yA)
Například: Pro A=[1;1], B=[5;3] je u⃗=AB=(5−1; 3−1)=(4;2).
Souřadnice vektoru jsou nezávislé na tom, kterou konkrétní úsečku (reprezentanta) použijeme — vektor CD pro C=[0;0], D=[4;2] má stejné souřadnice (4;2), i když leží jinde v rovině.
Velikost vektoru
Velikost (délka) vektoru u⃗=(u1;u2) se počítá stejně jako vzdálenost dvou bodů (viz Úsečka, střed a délka úsečky):
∣u⃗∣=√u12+u22
Například: ∣u⃗∣= ∣(4;2)∣= √16+4= √20= 2√5≈4,47
Násobení vektoru číslem
Vektor u⃗=(u1;u2) vynásobený reálným číslem k je vektor se souřadnicemi vynásobenými stejným číslem:
k⋅u⃗=(k⋅u1; k⋅u2)
Geometricky k mění délku vektoru k-krát; je-li k<0, vektor navíc změní směr na opačný (otočí se o 180°).
Příklady
1. Určete souřadnice a velikost vektoru v⃗=PQ, kde P=[−2;3], Q=[1;−1].
Výsledek: v = Q-P = (1-(-2); -1-3) = (3;-4); |v| = √(9+16) = √25 = 5
2. Je dán vektor u⃗=(6;−8). Vypočítejte souřadnice vektoru 2u⃗ a −21u⃗.
Výsledek: 2u = (12;-16); -½u = (-3;4)
3. Bod A=[3;−1] a vektor u⃗=(2;5). Určete souřadnice bodu B, pro který platí AB=u⃗.
Výsledek: B = A + u = (3+2; -1+5) = [5;4]
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.