Trojúhelník – pravoúhlý

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode zlomky), text a výsledky úkolů se ale dochovaly celé — vzorce jsou zde přepsané do LaTeXu, výsledky do spoilerů, čísla stránek odstraněna.

Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel je pravý ( $90°$ ).

Pozn.: neoznačený trojúhelník značíme obecně ABC; pokud není určeno, u kterého vrcholu má být pravý úhel, píše se obecně u vrcholu C. Ne všechny trojúhelníky v úlohách ale musí mít pravý úhel zrovna u C — vždy je potřeba se řídit konkrétním zadáním!

Co všechno můžeme na pravoúhlém trojúhelníku používat?

Pythagorovu větu
Goniometrické funkce ( $sin, cos, t g, cot g$ )
Euklidovy věty (o výšce, o odvěsnách)
Thaletovu kružnici

1) Pythagorova věta

Pythagoras (asi 570 př. n. l. – po 510 př. n. l.) — řecký filosof, matematik a astronom.

Znění: „Součet obsahů čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu čtverce nad přeponou.”

$c 2 = a 2 + b 2$

kde strana $c$ je přepona (leží vždy naproti pravému úhlu) a strany $a, b$ jsou odvěsny.

Pravoúhlý trojúhelník ABC (pravý úhel při C)

Úkol 1

Vypočítejte velikost druhé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, když víte: $a = 6 cm, c = 12 cm$ .

Výsledek: b² = c² − a² = 144 − 36 = 108, b = √108 ≈ 10,39 cm

Úkol 2

Máme oplocenou zahradu tvaru čtverce ABCD o straně délky 50 m. Vypočítejte, o kolik kroků (1 krok = 70 cm) uděláte méně, jestliže půjdete přímo z A do C, než z A do C přes B (zaokrouhlete na celé kroky).

Výsledek: úhlopříčka AC = 50√2 ≈ 70,71 m, cesta přes B = 50+50 = 100 m, rozdíl = 29,29 m = 2929 cm, / 70 cm ≈ 41,84 → asi o 42 kroků méně

2) Goniometrické funkce — sin, cos, tg, cotg

$sin α = přepona protilehlá = c a , cos α = přepona přilehlá = c b $

$t g, α = přilehlá protilehlá = b a , cot g, α = protilehlá přilehlá = a b $

Pozn.: pozor, při úhlu $β$ (u vrcholu B) je naopak strana $b$ protilehlá tomuto úhlu a strana $a$ přilehlá.

Pozn.: funkce $cot g$ se v praxi na řešení příkladů moc nepoužívá, protože ji nenajdeme přímo na běžné kalkulačce (počítá se jako $1/t g$ ).

Úkol 3

Vypočítejte velikost strany $c$ v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, když víte: $a = 6 cm$ a úhel $α = 30°$ .

Výsledek: sin α = a/c, tedy c = a / sin α = 6 / sin 30° = 6 / 0,5 = 12 cm

Úkol 4

Vypočítejte velikost zbývajících stran pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, když víte: $c = 8 cm$ a úhel $β = 48°$ .

Výsledek: b = c·sin β = 8·sin48° ≈ 5,95 cm; a = c·cos β = 8·cos48° ≈ 5,35 cm

Úkol 5

Vypočítejte velikost úhlu $α$ v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, když víte: $a = 6 cm$ a $b = 9 cm$ .

Výsledek: tg α = a/b = 6/9 ≈ 0,6667, α = arctg(0,6667) ≈ 33°41’24”

3) Euklidovy věty — o výšce, o odvěsnách

Euklides (asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l.) — řecký matematik a geometr.

Pro pravoúhlý trojúhelník s výškou $v c $ na přeponu $c$ , která ji rozděluje na úseky $c a $ (u vrcholu A) a $c b $ (u vrcholu B), platí $c = c a + c b $ a:

Euklidova věta o výšce: $v c 2 = c a \cdot c b $

Euklidova věta o odvěsnách: $a 2 = c \cdot c a , b 2 = c \cdot c b $

Výška v_c na přeponu — Eukleidovy věty

Úkol 6

Vypočítejte v trojúhelníku ABC velikost výšky na stranu $c$ , jestliže znáte: $c = 12 cm$ a úsek $c a = 4 cm$ .

Výsledek: c_b = c − c_a = 12 − 4 = 8 cm; v_c² = c_a·c_b = 4·8 = 32, v_c = √32 ≈ 5,66 cm

Úkol 7

Vypočítejte v trojúhelníku ABC velikost strany $a$ , jestliže znáte: $v c = 6 cm$ a $c b = 4 cm$ .

Výsledek: z věty o výšce: c_a = v_c²/c_b = 36/4 = 9 cm, tedy c = c_a+c_b = 13 cm. Z věty o odvěsnách: a² = c·c_a = 13·9 = 117, a = √117 ≈ 10,82 cm

4) Thaletova kružnice

Sestrojíme-li kružnici $k$ se středem $S$ , který je středem úsečky $A B$ (tedy s průměrem $A B$ ), pak v každém bodě ležícím na kružnici $k$ , který spolu s body $A$ a $B$ tvoří trojúhelník, bude u tohoto bodu pravý úhel.

Toto je užitečný nástroj pro konstrukci pravoúhlých trojúhelníků a pro důkazy v planimetrii.

Thaletova kružnice — úhel u C je vždy pravý