Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky, vzorce vložené jako obrázky a tabulky hodnot, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily. Text, vzorce a tabulky jsou zde doplněné/rekonstruované; všechny výsledky byly nezávisle přepočítány. U jednoho grafického příkladu měl v podkladu zjevně chybět mínus (uváděné “xy = 6” nedávalo výsledky z podkladu, ale “xy = −6” ano) — opraveno.
Osnova
a) pojem soustava rovnic, b) metody řešení soustav rovnic, c) způsoby řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.
Soustava rovnic
V soustavě rovnic pracujeme se dvěma či více rovnicemi. Není podmínkou, aby všechny rovnice byly lineárního typu — v této kapitole řešíme soustavu, kde je jedna rovnice lineární a druhá kvadratická.
Způsoby řešení
- početně — vyřešením soustavy rovnic (sčítací nebo dosazovací metodou)
- graficky — pomocí funkcí a jejich grafů
Početní řešení — sčítací a dosazovací metoda
Sčítací metoda: snažíme se vynulovat (vyloučit) jednu vybranou neznámou; při této metodě může dojít k násobení nebo dělení jedné či obou rovnic nějakým číslem.
Dosazovací metoda: z jedné rovnice si vyjádříme jednu neznámou a toto vyjádření dosadíme do zbývající rovnice.
Ukázkový příklad (dosazovací metoda)
Řešte soustavu x+6y=10, x2+4y2=10.
Z první rovnice vyjádříme x=10−6y a dosadíme do druhé:
(10−6y)2+4y2=10
100−120y+36y2+4y2=10
40y2−120y+90=0/:10
4y2−12y+9=0
Diskriminant vyšel D=144−144=0, takže rovnice má jeden dvojnásobný kořen: y1,2=812=1,5.
Dopočítáme x dosazením zpět: x=10−6⋅1,5=10−9=1.
Výsledek: [x;y]=[1; 1,5] (jediné řešení, protože kořen je dvojnásobný)
Příklady na procvičení (početně)
Příklad 1: Řešte soustavu x2+y2−4=0, x+2y=4.
Výsledek:
- dosazením x=4−2y: 5y² − 16y + 12 = 0, D = 16, y₁ = 2, y₂ = 1,2
- řešení: [x₁;y₁] = [0; 2], [x₂;y₂] = [1,6; 1,2]
Příklad 2: Řešte soustavu 5xy−y2+14=0, 2x−y−4=0.
Výsledek:
- z druhé rovnice: y = 2x − 4
- po dosazení: 3x² − 2x − 1 = 0, D = 16, x₁ = 1, x₂ = −1/3
- řešení: [x₁;y₁] = [1; −2], [x₂;y₂] = [−1/3; −14/3]
Grafické řešení soustav rovnic
Každou rovnici soustavy zapíšeme jako funkci a nakreslíme její graf. Tam, kde se grafy funkcí protnou, dostáváme řešení soustavy — výsledky jsou souřadnice průsečíků.
Ukázkový příklad
Řešte soustavu x−y=5, xy=−6.
Vyjádříme obě rovnice jako funkce: f1:y=x−5 (lineární funkce, přímka, D(f1)=R) a f2:y=−x6 (lineární lomená funkce, hyperbola, D(f2)=R∖{0}).
Tabulka pro f1 (stačí 2 body):
| x | 0 | 5 |
|---|---|---|
| y | −5 | 0 |
Tabulka pro f2 (potřeba víc bodů, protože hyperbola má dvě větve):
| x | −3 | −2 | −1 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 3 | 6 | −6 | −3 | −2 |
Průsečíky zjistíme i početně (dosazením y=x−5 do xy=−6): x(x−5)=−6⇒ x2−5x+6=0⇒ (x−2)(x−3)=0, tedy x=2 nebo x=3.
Výsledek: A=[2; −3], B=[3; −2]
Příklady na procvičení (graficky)
Příklad 1: Řešte soustavu 4x+2y−6=0, y=x2.
Vyjádříme jako funkce: f1:y=−2x+3 (přímka), f2:y=x2 (parabola, V=[0;0]).
Výsledek:
- dosazením x2=−2x+3: x² + 2x − 3 = 0, (x+3)(x−1) = 0, x₁ = −3, x₂ = 1
- řešení: A = [1; 1], B = [−3; 9]
Příklad 2: Řešte soustavu y=x2, xy=8.
Vyjádříme jako funkce: f1:y=x2 (parabola, V=[0;0]), f2:y=x8 (hyperbola).
Výsledek:
- dosazením x2=8/x: x³ = 8
- řešení: x = 2, y = 4, tedy A = [2; 4] (jediný reálný průsečík — rovnice x³=8 má jen jeden reálný kořen, zbylé dva jsou komplexní)
Shrnutí
- Způsoby řešení soustavy rovnic: početně (sčítací nebo dosazovací metoda), graficky (průsečíky grafů funkcí)
- Při grafickém řešení je nutné určit typ obou funkcí a sestrojit jejich grafy (tabulku hodnot), řešením jsou souřadnice průsečíků
Zdroje
HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6