Rovnoběžníky · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode zlomky), text a výsledky úkolů se ale dochovaly celé — vzorce jsou zde přepsané do LaTeXu, výsledky do spoilerů (namátkově ověřeny přepočtem), čísla stránek odstraněna.

Rovnoběžník je čtyřúhelník, u kterého jsou obě dvojice protějších stran rovnoběžné. Patří sem čtverec, obdélník, kosočtverec a kosodélník.

1. Čtverec

Rovinný útvar se čtyřmi vrcholy ABCD, čtyřmi stejně velkými stranami a čtyřmi vnitřními pravými úhly. Má dvě stejně velké úhlopříčky ( $u 1 = u 2 $ ), které mezi sebou svírají pravý úhel a rozdělují čtverec na čtyři shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky.

$o = 4 a, S = a 2 = 21 u 2, u = a \sqrt 2$

$ρ = 2 a (poloměr kružnice vepsané), r = 2 u (poloměr kružnice opsané)$

Čtverec ABCD s úhlopříčkami

Úkoly

1. Ve čtverci ABCD je velikost úhlopříčky 12 cm. Vypočítejte obsah a obvod čtverce.

Výsledek: a = u/√2 = 12/√2 ≈ 8,485 cm; S = a² ≈ 72 cm²; o = 4a ≈ 33,94 cm

2. Ve čtverci ABCD o hraně $a = 8 cm$ vypočítejte poloměr kružnice vepsané i opsané.

Výsledek: ρ = a/2 = 4 cm; u = a√2 ≈ 11,31 cm, r = u/2 ≈ 5,66 cm

3. Zahrada tvaru čtverce ležící jednou svou stranou u řeky má výměru 0,08 ha. Vypočítejte, kolik metrů pletiva bude potřeba na její oplocení (tři strany, čtvrtou tvoří řeka).

Výsledek: 0,08 ha = 800 m², a = √800 ≈ 28,28 m, pletivo na 3 strany = 3a ≈ 84,84 m

2. Obdélník

Rovinný útvar se čtyřmi vrcholy ABCD, čtyřmi stranami (protilehlé strany stejně dlouhé) a čtyřmi vnitřními pravými úhly. Má dvě stejně velké úhlopříčky ( $u 1 = u 2 $ ), které mezi sebou nesvírají pravý úhel a rozdělují obdélník na čtyři rovnoramenné trojúhelníky (dva protilehlé páry jsou shodné). Platí $α = α ’$ , $β = β ’$ .

$o = 2(a + b), S = a \cdot b, u = \sqrt a 2 + b 2 , r = 2 u $

Obdélník ABCD s úhlopříčkami

Úkoly

4. V obdélníku ABCD známe stranu $a = 12 cm$ a úhlopříčku $u = 13 cm$ . Vypočítejte obsah a obvod.

Výsledek: b = √(u²−a²) = √(169−144) = 5 cm; S = a·b = 60 cm²; o = 2(a+b) = 34 cm

5. V obdélníku ABCD svírá úhlopříčka $u = 20 cm$ s vodorovnou stranou úhel $32°$ . Vypočítejte obsah a obvod.

Výsledek: a = u·cos32° ≈ 16,96 cm; b = u·sin32° ≈ 10,60 cm; S ≈ 179,78 cm²; o ≈ 55,12 cm

6. Úhlopříčky obdélníka ABCD o velikosti $u = 16 cm$ svírají mezi sebou úhel $60°$ . Vypočítejte obsah a obvod.

Výsledek: úhlopříčky se navzájem půlí (každá polovina = 8 cm) a s dvojicí sousedních stran svírají úhly 60° a 120°. Kosinovou větou v trojúhelníku z půlek úhlopříček: a² = 8²+8²−2·8·8·cos60° = 64 cm², a = 8 cm; b² = 8²+8²−2·8·8·cos120° = 192 cm², b ≈ 13,86 cm. S = a·b ≈ 110,88 cm²; o = 2(a+b) ≈ 43,72 cm

7. Vypočítejte obsah a obvod obdélníka ABCD, víte-li, že úhlopříčky svírají úhel $50°$ a jedna strana je $b = 6 cm$ .

Výsledek: S ≈ 77,22 cm²; o ≈ 37,74 cm

8. Obdélníku ABCD o straně $a = 8 cm$ je opsána kružnice o poloměru $r = 5, 5 cm$ (v podkladu byla tato hodnota poškozená — dopočítána zpětně z dochovaného výsledku). Vypočítejte obsah a obvod obdélníka ABCD.

Výsledek: u = 2r = 11 cm; b = √(u²−a²) = √(121−64) = √57 ≈ 7,55 cm; S = a·b ≈ 60,4 cm²; o = 2(a+b) ≈ 31,1 cm

3. Kosočtverec

Rovinný útvar se čtyřmi vrcholy ABCD, čtyřmi stejně velkými stranami a čtyřmi vnitřními úhly (dva protilehlé páry stejné). Má dvě různé úhlopříčky ( $u 1 \neq = u 2 $ ), které mezi sebou svírají pravý úhel a rozdělují kosočtverec na čtyři trojúhelníky (dva protilehlé páry shodné). Platí $α = α ’$ , $β = β ’$ .

$o = 4 a$

$S = a \cdot v = 21 u 1 u 2 = a 2 sin α = a 2 sin β$

$ρ = 21 a sin α (poloměr kružnice vepsané)$

Kosočtverec ABCD — úhlopříčky kolmé

Úkoly

9. Vypočítejte obsah a obvod kosočtverce o straně $a = 5 cm$ , svírají-li strany úhel $48°$ .

Výsledek: S = a²·sin48° ≈ 18,58 cm²; o = 4a = 20 cm

10. Vypočítejte obsah a obvod kosočtverce s výškou $v = 4 cm$ , svírají-li strany úhel $66°$ .

Výsledek: a = v/sin66° ≈ 4,38 cm; S = a·v ≈ 17,52 cm²; o = 4a ≈ 17,52 cm (číselná shoda S a o je tu náhodná, jde o jiné jednotky — cm² vs. cm)

11. Vypočítejte obsah a obvod kosočtverce o úhlopříčkách $u 1 = 8 cm$ a $u 2 = 6 cm$ .

Výsledek: S = ½·8·6 = 24 cm²; strana a = √((4)²+(3)²) = 5 cm (poloviny úhlopříček jako odvěsny), o = 4a = 20 cm

12. Vypočítejte obsah a obvod kosočtverce o úhlopříčce $u 1 = 10 cm$ a úhlu $α = 80°$ .

Výsledek: S ≈ 41,99 cm²; o ≈ 26,12 cm

4. Kosodélník

Rovinný útvar se čtyřmi vrcholy ABCD, čtyřmi stranami (protilehlé strany stejně dlouhé) a čtyřmi vnitřními úhly (dva protilehlé páry stejné). Má dvě různé úhlopříčky ( $u 1 \neq = u 2 $ ), které mezi sebou nesvírají pravý úhel a rozdělují kosodélník na čtyři trojúhelníky (dva protilehlé páry shodné). Platí $α = α ’$ , $β = β ’$ , $γ = γ ’$ , $δ = δ ’$ .

$o = 2(a + b)$

$S = a \cdot v a = b \cdot v b = ab sin α = ab sin β$

Kosodélník ABCD — výška v_a na stranu a

Úkoly

13. Vypočítejte obsah a obvod kosodélníku o stranách $a = 5 cm$ a $b = 3 cm$ , svírají-li strany úhel $48°$ .

Výsledek: S = a·b·sin48° ≈ 11,15 cm²; o = 2(a+b) = 16 cm

14. Vypočítejte obvod kosodélníku o obsahu $S = 64 cm 2$ , straně $a = 5 cm$ a úhlu $α = 64°$ .

Výsledek: b = S/(a·sinα) = 64/(5·sin64°) ≈ 14,24 cm; o = 2(a+b) ≈ 38,48 cm

15. Vypočítejte obsah a obvod kosodélníku o straně $a = 9 cm$ , $v a = 5 cm$ a $v b = 11 cm$ .

Výsledek: S = a·v_a = 9·5 = 45 cm²; b = S/v_b = 45/11 ≈ 4,09 cm; o = 2(a+b) ≈ 26,18 cm