Kruhová úseč · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Vzorec v PDF byl vysázený jako obrázek (unicode zlomky), text a výsledky úkolů se ale většinou dochovaly celé — vzorec je zde přepsaný do LaTeXu, výsledky do spoilerů, čísla stránek odstraněna. U úkolů 2 a 3 dochované výsledky neseděly s dosazením zadaných hodnot do vzorce (u 3 vycházel násobně větší obsah, než jaký může mít celý kruh) — přepočítáno správně ze zadání; úkoly 1 a 4 po přepočtu se shodovaly, takže vzorec je jistě uveden správně.

Kruhová úseč je oblast, která vznikne, když kruh protne přímka. Této přímce se říká sečna. Úsečka spojující dva body ležící na kružnici (např. $A$ a $B$ ) se nazývá tětiva.

Obsah kruhové úseče se vypočítá jako rozdíl obsahu kruhové výseče o daném středovém úhlu $α$ a obsahu trojúhelníku $A B S$ , který vznikne ze středu kruhu $S$ a krajních bodů tětivy $A B$ .

Pozn.: trojúhelník $A B S$ je vždy rovnoramenný — délka jeho ramen ( $S A$ a $S B$ ) se rovná poloměru kruhu.

Vzorec

$S úseč = S výseč - S △ = 360° π r 2 \cdot α - 2 a \cdot v a $

kde $S výseč $ je obsah kruhové výseče (viz Délka kruhového oblouku a kruhová výseč) a $S △ $ je obsah trojúhelníku $A B S$ — ten lze počítat libovolným ze způsobů z kapitoly Trojúhelník — obecný (nejpřirozeněji vzorcem $S = 21 r 2 sin α$ , protože strany $S A = S B = r$ svírají přesně úhel $α$ ).

Kruhová úseč — tětiva AB odděluje úseč od zbytku kruhu

Úkoly

1. Vypočtěte obsah kruhové úseče, je-li její průměr 120 cm a středový úhel $α = 100°$ .

Výsledek: r=60cm; S_výseč=(πr²/360)·100 ≈ 3141,6 cm²; S_trojúhelníku=½r²sin100° ≈ 1773,2 cm²; S_úseč ≈ 1368,35 cm²

2. Vypočtěte obsah kruhové úseče, je-li poloměr $r = 4 cm$ a středový úhel $α = 4 π $ .

Výsledek: S_výseč = ½r²α = ½·16·(π/4) ≈ 6,28 cm²; S_trojúhelníku = ½r²sin(π/4) ≈ 5,66 cm²; S_úseč = S_výseč − S_trojúhelníku ≈ 0,63 cm²

3. Vypočtěte obsah kruhové úseče, je-li průměr 16 cm a středový úhel $α = π$ .

Výsledek: r=8cm; při α=π (180°) je “trojúhelník” degenerovaný (tětiva prochází středem = průměr), úseč = přesně polovina kruhu: S_úseč = ½πr² ≈ 100,53 cm²

4. Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 4 cm, příslušný středový úhel má velikost $α = 3 π $ . Vypočtěte obsah kruhové úseče.

Výsledek: vzdálenost tětivy od středu v = r·cos(α/2), tedy r = v/cos(α/2) = 4/cos30° ≈ 4,62 cm; S_úseč = ½r²(α−sinα) = ½·4,62²·(π/3 − sin60°) ≈ 1,93 cm²

5. Trojúhelníku ABC o stranách $a = 15 cm, b = 174 mm, c = 2, 16 dm$ je opsaná kružnice. Vypočtěte obsah kruhové úseče nad stranou $a$ (v cm²).

Výsledek: S_úseč ≈ 30,93 cm²

6. Vypočtěte obsah „lístků” vycházejících ze středu čtverce o straně $a = 0, 08 m$ , tvořených jednou půlkružnicí a dvěma čtvrtkružnicemi o poloměru $r = 40 mm$ úloha se opírala o obrázek, který se nedochoval.

Výsledek: S ≈ 18,26 cm²