Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala u úvodního snímku funkční text, další snímky ale byly jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — chybějící část je doplněna odpovídající standardnímu rozsahu tématu.
Přímka
Přímka je jednoznačně dána:
- dvěma body, nebo
- jedním bodem a směrovým nebo normálovým vektorem.
Směrový vektor přímky je libovolný nenulový vektor, který na přímce leží nebo je s ní rovnoběžný. Normálový vektor přímky je libovolný nenulový vektor, který je na přímku kolmý. Přímka má nekonečně mnoho směrových i normálových vektorů — všechny jsou navzájem násobky (rovnoběžné).
Vztah směrového a normálového vektoru
Je-li s⃗=(s1;s2) směrový vektor přímky, pak normálový vektor téže přímky získáme prohozením souřadnic a změnou znaménka jedné z nich:
n⃗=(s2; −s1)nebo ekvivalentněn⃗=(−s2; s1)
(je to jen jiný zápis kolmosti — platí totiž s⃗⋅n⃗=s1s2+s2(−s1)=0, viz Úhel dvou vektorů).
Příklad: Přímka je určena bodem A=[1;2] a směrovým vektorem s⃗=(3;4). Určete její normálový vektor.
n⃗=(4;−3)
Směrový vektor ze dvou bodů
Prochází-li přímka body A, B, je jejím směrovým vektorem s⃗=AB=B−A (viz Operace s vektory).
Příklad: Najděte směrový a normálový vektor přímky AB, kde A=[2;−1], B=[5;3].
s⃗=B−A=(3;4),n⃗=(4;−3)
Příklady
1. Určete normálový vektor přímky se směrovým vektorem s⃗=(−2;5).
Výsledek: n = (5;2) [nebo ekvivalentně (-5;-2)]
2. Přímka prochází body A=[0;3], B=[4;0]. Určete její směrový a normálový vektor.
Výsledek: s = B-A = (4;-3); n = (-3;-4) [nebo (3;4)]
3. Ověřte, že vektory s⃗=(3;−2) a n⃗=(4;6) mohou být směrovým a normálovým vektorem téže přímky.
Výsledek: s·n = 3·4+(-2)·6 = 12-12 = 0 → vektory jsou na sebe kolmé, mohou tedy patřit téže přímce jako směrový a normálový vektor
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.