Pascalův trojúhelník

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky (postupně se odkrývající text), který se při převodu do textu ztratil — zachovala se ale konkrétní čísla u jednotlivých vlastností (dvanáctý řádek, diagonály, sudá/lichá čísla), ze kterých šlo přesně rekonstruovat, o jaké vlastnosti šlo. Doplněno.

Blaise Pascal (1623–1662), francouzský matematik, fyzik a filosof.

1640 — Pojednání o kuželosečkách
1642 — mechanický počítací stroj (sčítání, odčítání)
1653 — studium hazardních her, položil základy kombinatoriky a pravděpodobnosti

Pascalův trojúhelník proslul v matematice symetrií a skrytými souvislostmi. Pascal ho ale neobjevil — jen velmi dobře popsal jeho vlastnosti. Znali ho už čínští učenci ve 13. století (v Číně se mu říká „Yang Huiho trojúhelník”).

Sestrojení a N-tý řádek

Pascalův trojúhelník sestrojíme tak, že na kraji každého řádku píšeme 1 a každé vnitřní číslo je součtem dvou čísel nad ním (Pascalovo pravidlo, viz Vlastnosti kombinačních čísel):

řádek 0:              1
řádek 1:             1 1
řádek 2:            1 2 1
řádek 3:           1 3 3 1
řádek 4:          1 4 6 4 1

$N$ -tý řádek (číslováno od 0) obsahuje přesně kombinační čísla $(n 0 ), (n 1 ), \dots, (n n )$ — proto se Pascalův trojúhelník používá i k rychlému výpočtu binomických koeficientů bez počítání faktoriálů.

Vlastnost — symetrické rozmístění čísel v řádku

Každý řádek je symetrický ( $(n k ) = (n n - k )$ , viz opět vlastnosti kombinačních čísel) — čte se stejně zleva i zprava.

Úkol: Dopište druhou polovinu dvanáctého řádku (řádek $n = 11$ , číslováno od 0):

$1, 11, 55, 165, 330, 462, \dots$

Výsledek: díky symetrii se druhá polovina zrcadlí: 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1 (řádek $n = 11$ má 12 čísel, obě prostřední jsou 462)

Další vlastnosti — diagonály (Fibonacciho posloupnost)

Sečteme-li čísla ležící na tzv. mělkých („nepravých”) diagonálách Pascalova trojúhelníku (šikmo, o jeden řádek a dva sloupce dál pokaždé), dostaneme překvapivě Fibonacciho posloupnost ( $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$ , kde každé číslo je součtem dvou předchozích):

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$

Toto je jeden z nejznámějších „skrytých” vzorů v Pascalově trojúhelníku.

Další vlastnosti — sudá a lichá čísla (Sierpinského trojúhelník)

Nahradíme-li v Pascalově trojúhelníku všechna sudá čísla nulami a lichá jedničkami, dostaneme zajímavý vzor:

1
1 1
1 0 1
1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1

Čím víc řádků takto vykreslíme, tím zřetelněji se objevuje fraktální vzor — trojúhelníky uvnitř trojúhelníků. Pro srovnání: úplně stejný vzor (nekonečně opakované trojúhelníky) tvoří i Sierpinského trojúhelník, kterým se dostáváme k tématu fraktálů.

Příklady na procvičení

1. Dopište 5. a 6. řádek Pascalova trojúhelníku (číslováno od 0).

Výsledek: řádek 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1; řádek 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

2. Sečtěte čísla v řádcích 0 až 5. Jaké pravidlo platí pro součet čísel v $n$ -tém řádku?

Výsledek: součty jsou 1, 2, 4, 8, 16, 32 — součet čísel v $n$ -tém řádku je $2 n$ (počet všech podmnožin $n$ -prvkové množiny)

3. Pomocí 4. řádku Pascalova trojúhelníku rozepište $(a + b) 4$ .

Výsledek: koeficienty 1, 4, 6, 4, 1: $(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4$

4. Rozepište $(x - 1) 3$ .

Výsledek: koeficienty 1, 3, 3, 1 se střídajícími se znaménky: $x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1$

Zdroje

CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.

Sierpinského trojúhelník: https://cs.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84sk%C3%A9ho_troj%C3%BAheln%C3%ADk