Kuželosečky · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala funkční úvodní text, ale další snímky byly jen nadpisy s obrázky (model řezu kužele), které se nedochovaly — doplněny standardní definice a rovnice jednotlivých kuželoseček s vlastními grafy.

Kuželosečka je množina bodů v rovině, kterou lze získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, jež neprochází vrcholem kuželové plochy. Podle úhlu, pod kterým rovina kuželovou plochu protíná, vznikají čtyři různé typy křivek: kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.

Kružnice

Řez kuželovou plochou rovinou kolmou na osu kužele. Množina všech bodů roviny se stejnou vzdáleností (poloměrem $r$ ) od daného bodu (středu). Podrobný výklad viz Kružnice.

Kružnice: x²+y²=r²

Elipsa

Řez rovinou, která svírá s osou kužele úhel větší než polovina vrcholového úhlu kužele, ale není na osu kolmá. Množina všech bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek $F 1 $ , $F 2 $ ) je konstantní. Se středem v počátku a poloosami $a$ (podél osy $x$ ), $b$ (podél osy $y$ ) má rovnici:

$a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1$

Elipsa: x²/16 + y²/4 = 1 (a=4, b=2)

Parabola

Řez rovinou rovnoběžnou s povrchovou přímkou kužele. Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu (ohniska) a pevné přímky (řídicí přímky). V “kuželosečkovém” tvaru s vrcholem v počátku a osou totožnou s osou $x$ :

$y 2 = 2 px$

(Jde o stejnou křivku, jakou znáte jako graf kvadratické funkce $y = ax 2$ — jen pootočenou o $90°$ , s osou vodorovně místo svisle; viz Kvadratická funkce.)

Parabola: y²=2x (p=1)

Hyperbola

Řez rovinou, která svírá s osou kužele úhel menší než polovina vrcholového úhlu (protíná tedy obě “poloviny” dvojkužele). Množina všech bodů, jejichž rozdíl vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) je v absolutní hodnotě konstantní. Se středem v počátku má rovnici:

$a 2 x 2 - b 2 y 2 = 1$

Na rozdíl od ostatních kuželoseček má hyperbola dvě samostatné větve — graf níže ukazuje jen pravou z nich (levá je jejím zrcadlovým obrazem podle osy $y$ ):

Pravá větev hyperboly: x²/9 - y²/4 = 1 (a=3, b=2)

Příklady

1. Určete typ kuželosečky (a její parametry $a$ , $b$ nebo $r$ ) podle rovnice $25 x 2 + 9 y 2 = 1$ .

Výsledek: elipsa; a=5, b=3

2. Určete typ kuželosečky podle rovnice $x 2 + y 2 = 49$ .

Výsledek: kružnice; r=7

3. Určete typ kuželosečky podle rovnice $4 x 2 - 16 y 2 = 1$ .

Výsledek: hyperbola; a=2, b=4

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.