Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala funkční úvodní text, ale další snímky byly jen nadpisy s obrázky (model řezu kužele), které se nedochovaly — doplněny standardní definice a rovnice jednotlivých kuželoseček s vlastními grafy.
Kuželosečka je množina bodů v rovině, kterou lze získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, jež neprochází vrcholem kuželové plochy. Podle úhlu, pod kterým rovina kuželovou plochu protíná, vznikají čtyři různé typy křivek: kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.
Kružnice
Řez kuželovou plochou rovinou kolmou na osu kužele. Množina všech bodů roviny se stejnou vzdáleností (poloměrem r) od daného bodu (středu). Podrobný výklad viz Kružnice.
Elipsa
Řez rovinou, která svírá s osou kužele úhel větší než polovina vrcholového úhlu kužele, ale není na osu kolmá. Množina všech bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek F1, F2) je konstantní. Se středem v počátku a poloosami a (podél osy x), b (podél osy y) má rovnici:
a2x2+b2y2=1
Parabola
Řez rovinou rovnoběžnou s povrchovou přímkou kužele. Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu (ohniska) a pevné přímky (řídicí přímky). V “kuželosečkovém” tvaru s vrcholem v počátku a osou totožnou s osou x:
y2=2px
(Jde o stejnou křivku, jakou znáte jako graf kvadratické funkce y=ax2 — jen pootočenou o 90°, s osou vodorovně místo svisle; viz Kvadratická funkce.)
Hyperbola
Řez rovinou, která svírá s osou kužele úhel menší než polovina vrcholového úhlu (protíná tedy obě “poloviny” dvojkužele). Množina všech bodů, jejichž rozdíl vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) je v absolutní hodnotě konstantní. Se středem v počátku má rovnici:
a2x2−b2y2=1
Na rozdíl od ostatních kuželoseček má hyperbola dvě samostatné větve — graf níže ukazuje jen pravou z nich (levá je jejím zrcadlovým obrazem podle osy y):
Příklady
1. Určete typ kuželosečky (a její parametry a, b nebo r) podle rovnice 25x2+9y2=1.
Výsledek: elipsa; a=5, b=3
2. Určete typ kuželosečky podle rovnice x2+y2=49.
Výsledek: kružnice; r=7
3. Určete typ kuželosečky podle rovnice 4x2−16y2=1.
Výsledek: hyperbola; a=2, b=4
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.