Kvadratická funkce

Pozn. k obsahu: Úlohy vycházely z grafů parabol, které nejsou součástí archivu. Vzorec pro vrchol paraboly V[−2ab​;,c−4ab2​] se v PDF opakovaně vyskytoval jako vzorcový objekt, který se ztratil (zůstalo jen “V[ , c – ]”) — doplněn standardním tvarem. Předpisy funkcí a klíčové dochované body umožnily většinu úloh plně dopočítat; u úlohy 3i) se ztratily i konkrétní rovnice A)–E), zachován je jen ověřovací postup a výsledné přiřazení.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Kvadratická funkce

1) Funkce f:y=(x−1)(x−3). a) Zapište souřadnice průsečíku Y grafu f s osou y. b) Sestrojte graf funkce f.

Podzim 2013, příklad č. 8. Body: 3.

Řešení: a) dosadíme x=0: y=(0−1)(0−3)=3, tedy Y[0;3].

b) Nejprve najdeme vrchol paraboly vzorcem V[−2ab​;,c−4ab2​]. Po roznásobení: y=x2−4x+3, tedy a=1,b=−4,c=3: V=[2;−1].

Do tabulky volíme x-ové souřadnice co nejblíž vrcholu (nejlépe jen napravo od něj — druhou polovinu paraboly dostaneme osovou souměrností):

2) Pro x∈R je dána funkce f:y=(2−x)(2+x). a) Sestrojte graf f. b) Zapište průsečík s osou y. c) Zapište všechna x, pro něž je f(x)>0.

Jaro 2014, příklad č. 8. Body: 3. Výsledek: b) P[0;4], c) x∈(−2;2).

Řešení: a) y=4−x2=−x2+0x+4, tedy a=−1,b=0,c=4: V=[0;4].

b) y=(2−0)(2+0)=4, tedy P[0;4].

c) Z grafu (i tabulky, doplněné o zápornou stranu díky souměrnosti): f(−3)=−5, f(−2)=0, f(−1)=3, f(0)=4, f(1)=3, f(2)=0, f(3)=−5. Nulová hodnota v x=±2; záporná pro x∈(−∞;−2)∪(2;∞); kladná pro x∈(−2;2).

3) (Graf vycházel z bodů A, B a přímky p, které nejsou v archivu dochované jako obrázek.) a), b) Zapište souřadnice vrcholu V. c) Zapište obor hodnot funkce f.

Jaro 2015, příklad č. 8. Body: 3. Výsledek: b) V[−1;−2], c) H(f)=⟨−2;+∞).

Řešení: každá parabola je osově souměrná — vzhledem k umístění bodů A, B musí mít vrchol x-ovou souřadnici −1. Protože vrchol leží na přímce p, jeho y-ová souřadnice je −2. V=[−1;−2].

c) Obor hodnot je množina všech y-ových souřadnic bodů grafu — z grafu vychází H(f)=⟨−2;+∞).

4) Funkce f:y=x2−1 (rekonstrukce z dochovaných funkčních hodnot — viz níže). Určete všechny x, pro něž je f(x)≤3.

Podzim 2015, příklad č. 11. Body: 1. Výsledek: x∈⟨−2;2⟩.

Řešení: z grafu (funkčních hodnot) vidíme f(−2)=3, f(−1)=0, f(0)=−1, f(1)=0, f(2)=3 (souhlasí přesně s f(x)=x2−1). f(x)>3 pro x∈(−∞;−2)∪(2;∞), tedy f(x)≤3 pro x∈⟨−2;2⟩.

5) Funkce f:y=x2 s definičním oborem ⟨−2;3⟩. Zapište obor hodnot funkce f.

Podzim 2016, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: H(f)=⟨0;9⟩.

Řešení: a=1,b=0,c=0, vrchol V=[0;0] (leží v definičním oboru). Krajní body definičního oboru: f(−2)=4, f(3)=9. Levý krajní bod grafu [−2;4], pravý [3;9], vrchol [0;0] — nejmenší funkční hodnota je tedy 0 (ve vrcholu), největší 9 (v pravém krajním bodě). H(f)=⟨0;9⟩.

6) Grafem funkce f:y=9−x2 je parabola. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení:

a) Vrchol paraboly je [0;9]. b) Jeden z průsečíků s osami je [−3;0]. c) f(0)=−3. d) Obor hodnot funkce f je ⟨9;+∞).

Jaro 2017, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) A, b) A, c) N, d) N.

Řešení: a) y=−x2+0x+9, a=−1,b=0,c=9: V=[0;9] — pravdivé. (Alternativně pravidlem posunu: y=−x2+9 = překlopení y=x2 podle osy x a posun o 9 nahoru, vrchol [0;9].)

b) Průsečíky s osou x: 0=9−x2⟹x2=9⟹x=±3 — body [3;0], [−3;0], obsahuje [−3;0] — pravdivé.

c) f(0)=−3 by znamenalo bod [0;−3] na grafu. Dosazením: −3=?9−02=9 — nepravdivá rovnost, bod na grafu neleží — tvrzení NEPRAVDIVÉ.

d) Vrchol [0;9], parabola se otevírá dolů (a<0), takže obor hodnot je H(f)=(−∞;9⟩, ne ⟨9;+∞) — tvrzení NEPRAVDIVÉ.

7) (Graf ukazuje parabolu s vrcholem [−1;0] procházející body [−2;1], [0;1].) Které tvrzení je pravdivé?

A) Graf je souměrný podle přímky p:x−1=0. B) Funkce f má předpis y=(x+1)2. C) Funkce je klesající v (−∞;0). D) Obor hodnot je (0;+∞). E) f(0)=−1.

Podzim 2017, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: A) přímka x−1=0 je svislá přímka protínající osu x v bodě 1 (vůbec to není funkce — v jejím “grafu” jsou body nad sebou) — podle ní parabola souměrná není.

B) Základní parabola y=x2 posunutá o 1 doleva má rovnici y=(x+1)2. Dosazením bodů [−2;1] a [0;1] zjistíme, že vyhovují — předpis je skutečně y=(x+1)2.

C) Při určování intervalů monotónnosti se řídíme podle x-ových souřadnic, ne y-ových. Klesající část paraboly (nalevo od vrcholu) je interval (−∞;−1), ne (−∞;0) — nepravdivé.

D) Obor hodnot je ⟨0;+∞) (číslo 0 do oboru patří, dosahuje se ve vrcholu), ne otevřený interval (0;+∞) — nepravdivé.

E) f(0)=(0+1)2=1, ne −1 — nepravdivé.

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Jsou dány funkce f:y=0,5x2 a g:y=2−0,5x. Na kterém z obrázků A–E jsou správně sestrojeny grafy obou funkcí?

A–D) (nedochováno) E)

2010 (2), příklad č. 18. Body: 2.

Řešení: f:y=0,5x2+0x+0 — kvadratická funkce, parabola se otevírá nahoru (a>0). g:y=−0,5x+2 — lineární funkce, klesající (a<0), protíná osu y v bodě 2. Oba grafy odpovídají obrázku E.

2i) Grafem funkce f:y=x2−6x je parabola s vrcholem V. Jakou hodnotu má druhá souřadnice vrcholu?

2011, příklad č. 20. Body: 2. Výsledek: A (−9).

Řešení: a=1,b=−6,c=0: V=[−2−6​;,0−436​]=[3;−9]. Druhá souřadnice vrcholu je −9.

3i) Přiřaďte ke každému grafu a)–c) odpovídající předpis funkce (A–E). (Konkrétní rovnice A–E se v podkladu ztratily, dochoval se jen ověřovací postup.)

2012, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) E, b) A, c) B.

Řešení: všechny rovnice nejprve upravíme na tvar y=ax2+bx+c, abychom poznali, zda se parabola otevírá nahoru nebo dolů. Ukázalo se, že jen jedna z pěti nabízených rovnic (A) odpovídá parabole otevřené dolů — tedy grafu b), na kterém je vidět parabola otevřená dolů.

Na parabole a) leží bod [2;0] — dosazením do zbylých rovnic vyhovuje pouze rovnice E.

Na parabole c) leží bod [3;0] — dosazením vyhovuje pouze rovnice B.

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 20) Kvadratická funkce.pdf.