Goniometrické funkce

Pozn. k obsahu: U úlohy 3i) se přesné znění pěti intervalových možností A)–E) v PDF z části ztratilo (dochovaly se jen krajní hodnoty $0$ a $2 π$ ) — doplněno standardním rozdělením kruhu na kvadranty, které přesně odpovídá dochovanému správnému přiřazení a) C, b) E, c) D.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Goniometrické funkce

1) Je dána funkce $g : y = sin x$ , $x \in ⟨0°; 360°⟩$ . Určete ve stupních hodnotu $x$ , v níž funkce $g$ nabývá minima.

Jaro 2014, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: $x = 270°$ .

Řešení: náčrtem sinusoidy v intervalu $⟨0°; 360°⟩$ zjistíme, že funkce $g$ nabývá minima v $270°$ (hodnota minima je $-1$ , tedy $g (270°) = -1$ ). Maxima nabývá v $90°$ ( $g (90°) = 1$ ). Dále platí např. $g (0°) = 0$ , $g (180°) = 0$ , $g (360°) = 0$ .

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Jakou hodnotu má funkce $cot g, x$ , jestliže $t g, x = 0, 4$ a $x \in (0; 2 π )$ ?

2010 (1), příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: $cot g, x = 2, 5$ .

Řešení: $π$ radiánů $= 180°$ , takže $(0; 2 π ) = (0°; 90°)$ — $x$ je ostrý úhel. Pro každý ostrý úhel platí, že $t g, x$ a $cot g, x$ jsou navzájem převrácené hodnoty (v pravoúhlém trojúhelníku $t g, x = přilehlá protilehlá $ , $cot g, x = protilehlá přilehlá $ ).

$t g, x = 0, 4 = 52 ⟹ cot g, x = t g, x 1 = 25 = 2, 5$

2i) Vrchol věže $V$ sledujeme z místa $A$ pod úhlem $α$ a z místa $B$ (o $x$ metrů blíže k patě věže) pod úhlem $β$ : $x = t g, α v - t g, β v $ . Pro $α = 45°$ , $β = 60°$ , $v = 50 m$ vypočtěte $x$ (zaokrouhlete na celé metry).

2010 (1), příklad č. 11.1. Body: 2. Výsledek: přibližně 21 m.

Řešení: $x = t g, 45° 50 - t g, 60° 50 = 150 - \sqrt 3 50 \approx 50 - 28, 87 \approx 21$ m.

3i) Přiřaďte ke každé podmínce a)–c) interval, v němž platí:

a) V celém intervalu jsou funkce sinus i kosinus klesající. b) V celém intervalu jsou funkce sinus i kosinus rostoucí. c) V celém intervalu je funkce sinus klesající a funkce kosinus rostoucí.

A) $(0; 2 π )$ B) (nedochováno) C) $(2 π ; π)$ D) $(π; 2 3 π )$ E) $(2 3 π ; 2 π)$

2014 (2), příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) C, b) E, c) D.

Řešení: sinusoida prochází počátkem, kosinusoida počátkem neprochází. Pozor — růst/klesání funkce v intervalu se řídí podle $x$ -ových souřadnic krajních bodů, ne podle $y$ -ových (např. 1. čtvrtina sinusoidy roste v intervalu $(0; 2 π )$ , ne v intervalu hodnot $(0; 1)$ ).

Po kvadrantech: v $(0; 2 π )$ sinus roste, kosinus klesá; v $(2 π ; π)$ oba klesají (odpověď a, C); v $(π; 2 3 π )$ sinus klesá, kosinus roste (odpověď c, D); v $(2 3 π ; 2 π)$ oba rostou (odpověď b, E).

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 21) Goniometrické funkce.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/21) Goniometrické funkce.pdf