Pozn. k obsahu: U několika úloh (1a, 1b, 5, 6, 7) se přesný tvar zadaného výrazu v PDF ztratil — u všech šlo přesně (nebo téměř přesně, viz úloha 5) zrekonstruovat z dochovaného postupu řešení.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Výrazy (nelomené)
1) Přiřaďte k výrazům a)–c) jejich ekvivalentní vyjádření (A–E):
a) 4−x2 b) (1−2x)2 c) (x−2)(2x−2)
A) (1−2x)(1+2x) B) (x−1)(2x−4) C) (2+x)(2−x) D) (2x−1)(2x−1) E) žádné z uvedených
Jaro 2012, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) C, b) D, c) B.
Řešení: a) 4−x2=22−x2=(2−x)(2+x)=(2+x)(2−x).
b) (1−2x)2=1−4x+4x2=4x2−4x+1=(2x−1)2=(2x−1)(2x−1).
c) (x−2)(2x−2)=(x−2)⋅2⋅(x−1)=(x−1)⋅2⋅(x−2)=(x−1)(2x−4).
2) Proveďte: (3x2−12)2.
Podzim 2012, příklad č. 2. Body: 1.
Řešení: (3x2−12)2=(3x2)2−2⋅3x2⋅12+122=9x4−72x2+144.
3) Vytkněte a rozložte na součin: 3y2−12.
Podzim 2012, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: 3(y−2)(y+2).
Řešení: 3y2−12=3(y2−4)=3(y2−22)=3(y−2)(y+2).
4) Pro x,y∈R rozložte na součin dvojčlenů: 25x2−9y4.
Podzim 2013, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: (5x−3y2)(5x+3y2).
Řešení: 25x2−9y4=(5x)2−(3y2)2=(5x−3y2)(5x+3y2).
5) Výraz (s proměnnou a∈R) zjednodušte tak, aby neobsahoval závorky.
Jaro 2014, příklad č. 3. Body: 2. Výsledek: 3a4−12a3+12a2.
(Pozn.: úplně původní zadaný výraz se nedochoval — dochovaný postup začíná až mezikrokem 3(a−a2+a)2, od kterého je řešení kompletní a ověřené.)
Řešení: 3(a−a2+a)2=3(2a−a2)2=3(4a2−4a3+a4)=12a2−12a3+3a4=3a4−12a3+12a2.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
6) Výraz s proměnnou x∈R rozložte na součin: x2+16x+64.
Podzim 2014, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: (x+8)(x+8), resp. (x+8)2.
Řešení: x2+16x+64=(x+8)2=(x+8)(x+8).
7) Doplňte do rámečků taková celá čísla, aby platila rovnost: (3x+□)2=□x2+60x+□. Jaký je součet všech tří doplněných čísel?
A) 23 B) 113 C) 119 D) 939 E) jiný součet
Jaro 2016, příklad č. 21. Body: 2.
Řešení: (3x+10)2=9x2+60x+100. Doplněná čísla: 10, 9, 100; jejich součet 10+9+100=119.
1i) Pro libovolné a∈R platí rovnost: (3a−2)2−6a2+□=3a2+4. Určete chybějící člen v rámečku.
2013, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: 12a.
Řešení: (3a−2)2−6a2+□=3a2+4⟹9a2−12a+4−6a2+□=3a2+4⟹3a2−12a+4+□=3a2+4⟹□=12a.
2i) Pro y∈R proveďte: (y2−2)3.
2014 (1), příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: y6−6y4+12y2−8.
Řešení (1. způsob — vzorec (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3):
(y2−2)3=y6−3y4⋅2+3y2⋅4−8=y6−6y4+12y2−8
Řešení (2. způsob — postupné násobení):
(y2−2)3=(y2−2)2⋅(y2−2)=(y4−4y2+4)(y2−2)=y6−6y4+12y2−8
3i) Pro x∈R∖1 proveďte: (2x+5):(x−1).
2014 (2), příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: 2+x−17.
Řešení: (2x+5):(x−1)=2+x−17. Zkouška: (x−1)⋅(2+x−17)=2x−2+7=2x+5 ✓.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 5) Výrazy ( nelomené ).pdf.