Pozn. k obsahu: Rovnice se z většiny dochovaly čitelně přímo v zadání nebo šly jednoznačně zrekonstruovat z dochovaného postupu. Věty o logaritmech používané v řešeních: 1. věta log(ab)=loga+logb; 2. věta logba=loga−logb; 3. věta logan=nloga (platí analogicky pro logaritmus o libovolném základu).
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Logaritmické rovnice
1) V oboru R řešte: log0,1+log(2x)=1.
Jaro 2011, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: x=50; podmínky x>0.
Řešení (1. větou o logaritmech): log(0,1⋅2x)=1⟹101=0,1⋅2x⟹10=0,2x⟹x=50.
Podmínky: 2x>0⟹x>0.
2) V oboru R řešte: log22x−log28=1.
Podzim 2011, příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: x=8; podmínky x>0.
Řešení (1. větou): log22x=1+log28=log22+log28=log2(2⋅8)⟹2x=16⟹x=8.
3) Je dána rovnice log(x2)−2logx=0. Řešením je:
A) ∅ B) 0 C) 0,1;10 D) (0;+∞) E) R∖0
Jaro 2012, příklad č. 23. Body: 2.
Řešení (3. větou): 2logx−2logx=0⟹0=0 — pravdivá rovnost, ale ne pro každé x: podmínky jsou x2>0 (x=0) a zároveň x>0 (z logx). Průnikem obou podmínek je (0;∞) — to je řešení.
4) V oboru R řešte: log2−logx=1.
Podzim 2012, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: x=0,2; podmínky x>0.
Řešení (2. větou): logx2=1⟹101=x2⟹10x=2⟹x=0,2.
5) V oboru R řešte: log4(x−8)=1.
Podzim 2014, příklad č. 11. Body: 1. Výsledek: x=12; podmínky x>8.
Řešení: 41=x−8⟹x=12. Podmínky: x−8>0⟹x>8.
6) Určete definiční obor a řešte: log(2−x)=−1.
Jaro 2015, příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: D(x)=(−∞;2), K=1,9.
Řešení: 10−1=2−x⟹0,1=2−x⟹x=1,9. Podmínky: 2−x>0⟹x<2.
7) Přiřaďte rovnicím a), b) jejich množinu řešení:
a) log2x=−1 b) log2x2=0
A) −2 B) −1 C) \left21\right D) 1 E) ∅ F) jiná množina
Podzim 2015, příklad č. 25.3, 25.4. Body: 2. Výsledek: a) C, b) F (x1=1,x2=−1).
Řešení: a) podmínky x>0. 2−1=x⟹x=21.
b) podmínky x2>0⟹x=0. 20=x2⟹x2=1⟹x1=1,x2=−1.
Pozor, “chyták”: kdybychom 3. větou upravili log2x2=2log2x, dostali bychom log2x=0⟹x=1 a druhé řešení (x=−1) by “zmizelo” — protože výraz 2log2x má jiný definiční obor (x>0) než původní log2x2 (x=0). Řešení x=−1 podmínkám původní rovnice přitom vyhovuje.
8) Určete definiční obor a řešte: log8−log2=21log(2x−2).
Jaro 2016, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: D(x)=(1;+∞), K=9.
Řešení: /⋅2: 2log8−2log2=log(2x−2). 3. větou: log82−log22=log(2x−2)⟹log64−log4=log(2x−2). 2. větou: log16=log(2x−2)⟹16=2x−2⟹x=9.
Podmínky: 2x−2>0⟹x>1.
9) V oboru R řešte: log33x=6.
Jaro 2017, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: x=243; podmínky x>0.
Řešení: 36=3x⟹729=3x⟹x=243.
10) Pro x,y∈(0;+∞) platí logy=2logx+2. Vyjádřete y bez logaritmů.
Podzim 2017, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: y=100x2.
Řešení (3. větou, 2=log100): logy=logx2+log100. 1. větou: logy=log(100x2)⟹y=100x2.
Příklady z testů PUP a ilustračních testů Cermatu
1p) V oboru R řešte: 3x−log103=x+log10.
Jaro 2011 PUP, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: x=2.
Řešení: 3x−3=x+1⟹2x=4⟹x=2.
(Přísně vzato jde o rovnici lineární — v argumentech logaritmů se nevyskytují proměnné.)
1i) Řešte rovnici: log1000+logx=4.
2010 (2), příklad č. 6.1. Body: 2. Výsledek: x=10; podmínky x>0.
Řešení: 3+logx=4⟹logx=1⟹x=10.
2i) V oboru R řešte: log3x+log327=1.
2011, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: x=91; podmínky x>0.
Řešení: log3x+3=1⟹log3x=−2⟹x=3−2=91.
3i) V oboru R řešte: log5=log4−log(5x).
2013, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: x=254=0,16; podmínky x>0.
Řešení (2. větou): log5=log5x4⟹5=5x4⟹25x=4⟹x=254=0,16.
4i) Přiřaďte rovnicím a), b) jejich množinu řešení:
a) log22+log21=log22x b) log2x2−log2x=1
A) −2;2 B) −2 C) −1 D) 1 E) 2 F) ∅
2014 (2), příklad č. 25.3, 25.4. Body: 2. Výsledek: a) D, b) E.
Řešení: a) 1. větou: log2(2⋅1)=log22x⟹2=2x⟹x=1.
b) 2. větou: log2xx2=1⟹log2x=1⟹x=2. Podmínky: x2>0 (x=0) a x>0 — průnikem (0;∞), řešení x=2 vyhovuje.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 26) Logaritmické rovnice.pdf.