Směrnicový tvar rovnice přímky

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Směrnicový tvar

Pokud obecná rovnice přímky $ax + b y + c = 0$ (viz Obecná rovnice přímky) má $b \neq = 0$ (přímka není svislá), můžeme ji vyjádřit v směrnicovém tvaru:

$y = k x + q$

kde $k$ je směrnice přímky a $q$ je hodnota, ve které přímka protíná osu $y$ (tzv. úsek na ose $y$ ).

y = 0,5x + 1 (k=0,5, q=1)

Směrnice

Směrnice $k$ udává sklon přímky — je to tangens úhlu, který přímka svírá s kladnou částí osy $x$ :

$k = t g, φ$

Je-li přímka daná směrovým vektorem $s ⃗ = (s 1 ; s 2 )$ se $s 1 \neq = 0$ , platí $k = s 1 s 2 $ — směrnice je “podíl výšky ku šířce” směrového vektoru. Platí i:

$k > 0$ : přímka stoupá zleva doprava,
$k < 0$ : přímka klesá zleva doprava,
$k = 0$ : přímka je vodorovná (rovnoběžná s osou $x$ ),
svislé přímky ( $x = konst.$ ) směrnicový tvar nemají — u nich by $k$ muselo být nekonečné.

Rovnoběžné přímky mají stejnou směrnici. Kolmé přímky mají směrnice svázané vztahem $k 1 \cdot k 2 = -1$ .

Z obecné rovnice

Z $ax + b y + c = 0$ (kde $b \neq = 0$ ) vyjádříme $y$ :

$y = - b a x - b c ⟹ k = - b a , q = - b c $

Příklad: Převeďte $2 x - 4 y + 8 = 0$ na směrnicový tvar.

$-4 y = -2 x - 8 ⟹ y = 21 x + 2 ⟹ k = 21 , q = 2$

Příklady

1. Napište směrnicový tvar přímky procházející body $A = [0; 1]$ , $B = [4; 3]$ .

Výsledek: k = (3-1)/(4-0) = 2/4 = 1/2; q = 1 (přímka prochází A, které leží na ose y); y = ½x + 1

2. Převeďte přímku $3 x + 2 y - 6 = 0$ na směrnicový tvar.

Výsledek: 2y=-3x+6 → y=-3/2 x+3; k=-3/2, q=3

3. Přímky $p : y = 3 x - 2$ a $q : y = k x + 5$ jsou rovnoběžné. Určete $k$ .

Výsledek: rovnoběžné přímky mají stejnou směrnici → k=3

4. Přímky $p : y = 2 x + 1$ a $q : y = k x - 3$ jsou na sebe kolmé. Určete $k$ .

Výsledek: k₁·k₂=-1 → 2k=-1 → k=-1/2

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.