Směrnicový tvar rovnice přímky

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Směrnicový tvar

Pokud obecná rovnice přímky ax+by+c=0 (viz Obecná rovnice přímky) má b=0 (přímka není svislá), můžeme ji vyjádřit v směrnicovém tvaru:

y=kx+q

kde k je směrnice přímky a q je hodnota, ve které přímka protíná osu y (tzv. úsek na ose y).

Směrnice

Směrnice k udává sklon přímky — je to tangens úhlu, který přímka svírá s kladnou částí osy x:

k=tgφ

Je-li přímka daná směrovým vektorem s⃗=(s1​;s2​) se s1​=0, platí k=s1​s2​​ — směrnice je “podíl výšky ku šířce” směrového vektoru. Platí i:

• k>0: přímka stoupá zleva doprava,
• k<0: přímka klesá zleva doprava,
• k=0: přímka je vodorovná (rovnoběžná s osou x),
• svislé přímky (x=konst.) směrnicový tvar nemají — u nich by k muselo být nekonečné.

Rovnoběžné přímky mají stejnou směrnici. Kolmé přímky mají směrnice svázané vztahem k1​⋅k2​=−1.

Z obecné rovnice

Z ax+by+c=0 (kde b=0) vyjádříme y:

y=−ba​x−bc​⟹k=−ba​,q=−bc​

Příklad: Převeďte 2x−4y+8=0 na směrnicový tvar.

−4y=−2x−8⟹y=21​x+2⟹k=21​, q=2

Příklady

1. Napište směrnicový tvar přímky procházející body A=[0;1], B=[4;3].

Výsledek: k = (3-1)/(4-0) = 2/4 = 1/2; q = 1 (přímka prochází A, které leží na ose y); y = ½x + 1

2. Převeďte přímku 3x+2y−6=0 na směrnicový tvar.

Výsledek: 2y=-3x+6 → y=-3/2 x+3; k=-3/2, q=3

3. Přímky p:y=3x−2 a q:y=kx+5 jsou rovnoběžné. Určete k.

Výsledek: rovnoběžné přímky mají stejnou směrnici → k=3

4. Přímky p:y=2x+1 a q:y=kx−3 jsou na sebe kolmé. Určete k.

Výsledek: k₁·k₂=-1 → 2k=-1 → k=-1/2

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.