Rozklad na součin · MATURITKA

Pozn. k obsahu: U příkladů 1, 2, 6 a 8 se dochoval popis postupu, ale výsledný rozložený tvar chyběl — dopočítán a ověřen zpětným roznásobením. V úloze 2 samostudia se čísla (zlomkové koeficienty) při převodu přeuspořádala natolik, že přesné znění položek c), d), e) nejde bezpečně rekonstruovat — nahrazeny vlastními, stejného typu (rozdíl čtverců se zlomky/desetinnými čísly). Výsledky ke cvičením “pro samostudium” v podkladu úplně chyběly — nově dopočítány a ověřeny.

Rozklad na součin využijeme u krácení lomených výrazů. Ukážeme si pár řešených příkladů a pak budete počítat sami.

Příklad 1: Rozložte na součin $8 x 2 y 3 + 6 x y 4$ .

Podíváme se, co mají oba členy společného — koeficienty $8, 6$ mají společného dělitele $2$ , proměnné mají společné $x 1 y 3$ :

$8 x 2 y 3 + 6 x y 4 = 2 x y 3 (4 x + 3 y)$

Příklad 2: Rozložte na součin $10 p - 10 q - ap + a q$ .

Vytkneme nejprve z prvních dvou členů a poté z druhých dvou:

$10 p - 10 q - ap + a q = 10(p - q) - a (p - q)$

Nyní můžeme z obou členů vytknout společnou závorku $(p - q)$ :

$= (p - q)(10 - a)$

Příklad 3: Rozložte na součin $9 x 2 - 41 y 2$ .

Použijeme vzorec $a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$ s $a = 3 x$ , $b = 21 y$ :

$9 x 2 - 41 y 2 = (3 x - 21 y) (3 x + 21 y)$

Příklad 4: Rozložte na součin $81 c 4 - 16$ .

Vzorec $a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$ zde použijeme dvakrát:

$(9 c 2) 2 - 42 = (9 c 2 - 4)(9 c 2 + 4) = (3 c - 2)(3 c + 2)(9 c 2 + 4)$

Příklad 5: Rozložte na součin $9 x 2 + 12 x y + 4 y 2$ .

Použijeme vzorec $a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2$ :

$(3 x) 2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 x y + (2 y) 2 = (3 x + 2 y) 2$

Příklad 6: Rozložte na součin $16 p 2 - 4 p q + 41 q 2$ .

Použijeme vzorec $a 2 - 2 ab + b 2 = (a - b) 2$ s $a = 4 p$ , $b = 21 q$ (ověříme: $2 ab = 2 \cdot 4 p \cdot 21 q = 4 p q$ ✓):

$16 p 2 - 4 p q + 41 q 2 = (4 p - 21 q) 2$

Příklad 7: Rozložte na součin $p 2 - 64 + 16 u - u 2$ .

Z posledních tří členů vytkneme $-1$ a trojčlen v závorce upravíme podle vzorce $a 2 - 2 ab + b 2 = (a - b) 2$ :

$p 2 - (u 2 - 16 u + 64) = p 2 - (u - 8) 2$

Nyní použijeme vzorec $a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$ :

$p 2 - (8 - u) 2 = (p - (8 - u)) \cdot (p + (8 - u)) = (p - 8 + u)(p + 8 - u)$

Příklad 8: Rozložte na součin $4 a 2 - b 2 - 14 a + 7 b$ .

Na první dva členy použijeme vzorec rozdílu čtverců, ze zbylých dvou vytkneme:

$4 a 2 - b 2 - 14 a + 7 b = (2 a - b)(2 a + b) - 7(2 a - b) = (2 a - b) [(2 a + b) - 7] = (2 a - b)(2 a + b - 7)$

Příklady pro samostudium

1. Rozložte na součin vytýkáním:

a) $6 x - 15 y$ b) $25 r + 35 s$ c) $12 a 2 b 4 - 44 ab 3 + 20 a 3 b 3$ d) $-3 x 2 y - 9 x y 2 + 36 x y 4$ e) $6 r - 6 s + k r - k s$ f) $k p + 3 k - 4 p - 12$ g) $5 px + 10 p + 2 r + r x$ h) $14 y - 7 - r + 2 r y$

Výsledek: a) 3(2x-5y); b) 5(5r+7s); c) 4ab³(5a²+3ab-11); d) -3xy(x+3y-12y³); e) (r-s)(6+k); f) (p+3)(k-4); g) (x+2)(5p+r); h) (2y-1)(7+r)

2. Rozložte na součin podle vhodného vzorce (rozdíl čtverců):

a) $c 2 - 64$ b) $0, 25 - s 2$ c) $9 x 2 - 1$ d) $9 r 2 - 9 p 2$ e) $4981 - 16 m 4$

Výsledek: a) (c-8)(c+8); b) (0,5-s)(0,5+s); c) (x/3-1)(x/3+1); d) (r/3-3p)(r/3+3p); e) (9/7-4m²)(9/7+4m²)

3. Vyjádřete jako druhou mocninu dvojčlenu:

a) $64 - 16 p + p 2$ b) $9 m 2 + 6 m k + k 2$ c) $16 s 2 - 40 r s + 25 r 2$ d) $0, 04 + c 2 + 0, 4 c$ e) $25 x 2 - 5 2 x + 1$ f) $12 du - 36 d 2 - u 2$

Výsledek: a) (p-8)²; b) (3m+k)²; c) (4s-5r)²; d) (c+0,2)²; e) (x/5-1)²; f) -(6d-u)² [je to záporně vzatá druhá mocnina, protože u²+36d² má opačné znaménko než součin 12du]

4. Rozložte na součin (kombinace vzorce a vytýkání):

a) $4 + 4 c + c 2 - 9 d 2$ b) $49 b 2 - a 2 - 2 a - 1$ c) $25 x 2 - y 2 + 5 x - y$ d) $m 2 - 36 s 2 - m - 6 s$

Výsledek: a) (c+2)²-9d² = (c+2-3d)(c+2+3d); b) 49b²-(a+1)² = (7b-a-1)(7b+a+1); c) (5x-y)(5x+y)+(5x-y) = (5x-y)(5x+y+1); d) (m-6s)(m+6s)-(m+6s) = (m+6s)(m-6s-1)

Zdroje

Zdrojový dokument: mat/rozklad_na_součin.pdf