Komolý kužel · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu; výsledky úkolů ověřeny přepočtem. U příkladu 3 dochovaný výsledek ( $m = 1, 439 kg$ , $V = 21, 422 l$ ) neodpovídal správnému dosazení zadaných průměrů — vycházelo z toho, že se hodnoty průměrů omylem použily přímo jako poloměry (bez dělení dvěma). Po opravě (poloměry $r 1 = 8 cm$ , $r 2 = 14 cm$ ) vychází výrazně menší, ale se zadáním konzistentní hodnoty — přepočítáno správně.

Komolý kužel je část kužele ležící mezi dvěma rovnoběžnými rovinami (podstavami) procházejícími tímto kuželem — zjednodušeně kužel s uříznutým „vrškem”. Vzdálenost dvou rovnoběžných podstav nazýváme tělesová výška ( $v$ ), délku strany komolého kužele značíme $s$ , poloměry podstav $r 1 $ a $r 2 $ .

Povrch tvoří dvě kruhové podstavy a plášť (výseč mezikruží):

$S P 1 = π r 12 S P 2 = π r 22 S p l = π (r 1 + r 2 ) s$

$S = π r 12 + π r 22 + π (r 1 + r 2 ) s$

$V = 31 π v (r 12 + r 1 r 2 + r 22 )$

Komolý rotační kužel

Úkol (interaktivní, Cabri 3D)

V programu Cabri nakreslete komolý kužel. Cabri toto těleso přímo nezná, model lze ale vytvořit pomocí nástroje stopa prvku:
- nakreslete v rovině kružnici $k$
- středem kružnice veďte přímku $o$ kolmou k rovině, ve které leží kružnice
- na přímce $o$ zvolte bod $V$ — vrchol nekomolého kužele, ze kterého vytvoříme kužel komolý
- vytvořte rovinu $ρ$ rovnoběžnou s rovinou, ve které leží kružnice $k$
- na kružnici $k$ zvolte bod $K$ , vytvořte přímku $p = V K$
- vytvořte bod $L \in p \cap ρ$
- vytvořte úsečku $K L$ ; pomocí nástroje stopa prvku a úsečky $K L$ vytvořte komolý kužel

Příklady

1. Jakou výšku má těleso tvaru rotačního komolého kužele, jsou-li poloměry podstav $2 m$ a $1, 5 m$ a objem $9, 687 m 3$ ?

Výsledek: r₁²+r₁r₂+r₂²=4+3+2,25=9,25; v = 3V/(π·9,25) = 3·9,687/(9,25π) ≈ 1 m

2. Poloměry podstav komolého rotačního kužele jsou $r 1 = 7 cm$ , $r 2 = 2 cm$ , jeho povrch $S = 170 π cm 2$ . Určete jeho objem.

Výsledek: S_p1+S_p2=π(49+4)=53π; S_pl=S-53π=117π=π(r₁+r₂)s=9πs → s=13cm; v=√(s²-(r₁-r₂)²)=√(169-25)=12cm; V=(πv/3)(r₁²+r₁r₂+r₂²)=(12π/3)(49+14+4)=4π·67=268π ≈ 841,95 cm³

3. Nádoba má tvar komolého rotačního kužele a nemá víko. Průměr dna je $16 cm$ , průměr okraje je $28 cm$ , strana má délku $15 cm$ . Kolik váží nádoba, jestliže $1 m 2$ materiálu, ze kterého je vyrobena, váží $5 kg$ ? Kolik litrů vody se do ní vejde?

Výsledek: r₁=8cm (dno), r₂=14cm (okraj); bez víka → povrch = dno + plášť: S=πr₁²+π(r₁+r₂)s=64π+22π·15=64π+330π=394π≈1237,8 cm²=0,1238m²; m=0,1238·5≈0,619 kg. Objem: v=√(s²-(r₂-r₁)²)=√(225-36)=√189≈13,75cm; V=(πv/3)(r₁²+r₁r₂+r₂²)=(π·13,75/3)(64+112+196)=(π·13,75/3)·372≈5355 cm³ ≈ 5,355 l