Nerovnice v podílovém tvaru

Pozn. k obsahu: Přesná znění nerovnic 1) a 2) se v PDF ztratila jen částečně — z dochovaného slovního zdůvodnění postupu (znaménko čitatele, podmínky) je patrné, o jaký typ výrazu šlo, přesný číselný tvar čitatele ale není jistý. Úloha 1i) se dochovala celá.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Nerovnice v podílovém tvaru

1) Přiřaďte k oběma nerovnicím a), b) řešeným v oboru $R$ odpovídající množinu řešení:

a) nerovnice tvaru $3 - x (vždy kladný čitatel) < 0$ b) $x - 3 3 - x > 0$

A) $\emptyset$ B) $(-\infty; 1)$ C) $(-\infty; 3)$ D) $(1; +\infty)$ E) $(3; +\infty)$

Podzim 2015, příklad č. 26.2, 26.3. Body: 2. Výsledek: a) E, b) A.

Řešení a): rychlejší než kompletní zápis metodou rozvětvení, logických spojek nebo nulových bodů je zde přímá úvaha — čitatel je kladný, takže aby byla hodnota celého zlomku záporná, musí být jmenovatel záporný:

$3 - x < 0 ⟹ x > 3 ⟹ x \in (3; \infty)$

Podmínky: $x \neq = 3$ .

Řešení b): po vytknutí čísla $(-1)$ v čitateli nebo jmenovateli lze zlomek zkrátit — $x - 3 3 - x = x - 3 -(x - 3) = -1$ pro každé $x \neq = 3$ . Nerovnice se tak redukuje na nepravdivý výrok $-1 > 0$ , který neplatí pro žádné $x$ . Nerovnice nemá řešení, $K = \emptyset$ .

2) V oboru $R$ řešte nerovnici tvaru $x - 2 (vždy záporný čitatel) \leq 0$ .

Jaro 2016, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: $K = (2; \infty)$ ; podmínky $x \neq = 2$ .

Řešení: rychlejší než kompletní metoda je přímá úvaha — čitatel je záporný, takže aby byla hodnota zlomku nekladná (a nula zde vyjít nemůže, protože čitatel je nenulový), musí být jmenovatel kladný:

$x - 2 > 0 ⟹ x > 2 ⟹ x \in (2; \infty)$

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Jaké je řešení nerovnice $x - 5 -5 x < 0$ v oboru $R$ ?

A) $\emptyset$ B–D) (nedochováno) E) $(-\infty; 0) \cup (5; \infty)$

2012, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení (1. způsob — metoda logických spojek): podíl $A / B < 0$ právě tehdy, když ( $A > 0$ a $B < 0$ ) nebo ( $A < 0$ a $B > 0$ ).

$[-5 x > 0 \land (x - 5) < 0] nebo [-5 x < 0 \land (x - 5) > 0]$

$[x < 0 \land x < 5] nebo [x > 0 \land x > 5]$

průnik: $(-\infty; 0) \cap (-\infty; 5) = (-\infty; 0)$ . 2. průnik: $(0; \infty) \cap (5; \infty) = (5; \infty)$ .

Sjednocení: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; \infty)$ .

Řešení (2. způsob — metoda nulových bodů): nulové body $x 1 = 0$ , $x 2 = 5$ .

	$(-\infty; 0)$	$(0; 5)$	$(5; \infty)$
$-5 x$	$+$	$-$	$-$
$x - 5$	$-$	$-$	$+$
podíl	$-$	$+$	$-$

Ověření nulových bodů: $x 1 = 0$ dává hodnotu $0$ (nevyhovuje ostré nerovnici), $x 2 = 5$ zlomek nemá smysl (dělení nulou). Sjednocení intervalů se znaménkem $-$ : $x \in (-\infty; 0) \cup (5; \infty)$ .

Poznámka: Nerovnici lze řešit i metodou rozvětvení.

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 17) Nerovnice v podílovém tvaru.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/17) Nerovnice v podílovém tvaru.pdf