Exponenciální rovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala konkrétní zadání ukázkových příkladů a cvičení vložená jako obrázky/rovnice, která se při převodu ztratila beze zbytku (zůstaly jen popisky “a)”, “b)” … bez samotných rovnic). Teorie a postup jsou rekonstruované věrně podle zachovaného textu; konkrétní příklady níže jsou nově vytvořené tak, aby demonstrovaly přesně tytéž typy úloh (stejný základ, různý základ, substituce, řešení bez smyslu), jaké byly v původním materiálu.

Osnova

a) pojem exponenciální rovnice, b) základní znalosti, c) postup řešení, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.

Exponenciální rovnice je rovnice ve tvaru $a v = b$ , kde $a \in R + ∖ {1}$ (číslo $a$ se nazývá základ) a $v$ je výraz s neznámou v exponentu.

Pozn.: u exponenciálních rovnic zpravidla není nutné provádět zkoušku — výjimkou jsou úlohy, ve kterých se pracuje s odmocninami nebo se substitucí.

Základní znalosti

a) Znalost mocnin, např. $8 = 23$ , $27 = 33$ , $16 = 42 = 24$ , $125 = 53$ .

b) Pravidla pro počítání s mocninami:

$a r \cdot a s = a r + s$

$a r : a s = a r - s$

$(a r) s = a r \cdot s$

$(a r \cdot b s) v = a r \cdot v \cdot b s \cdot v$

Postup řešení

Obě strany rovnice lze převést na stejný základ — pak jednoduše porovnáme exponenty (protože exponenciální funkce je prostá, rovnají-li se mocniny se stejným základem, musí se rovnat i exponenty):

$a f (x) = a g (x) ⟺ f (x) = g (x)$

Například: $1000 = 10 x \Rightarrow$ $103 = 10 x \Rightarrow$ $x = 3$ .

Obě strany rovnice nelze převést na stejný základ — pak použijeme logaritmus:

$a x = b ⟺ x = log a log b (a > 0, a \neq = 1, b > 0)$

Například: $8 = 3 x \Rightarrow$ $log 8 = x \cdot log 3 \Rightarrow$ $x = log 3 log 8 $ .

Ukázkové příklady (společný základ)

a) Číslo lze přímo napsat jako mocninu stejného základu:

$2 x = 128 \Rightarrow 2 x = 27 \Rightarrow x = 7$

b) Použijeme vztah $(a r) s = a r \cdot s$ :

$4 x = 32 \Rightarrow (2 2) x = 25 \Rightarrow 2 2 x = 25 \Rightarrow 2 x = 5 \Rightarrow x = 25 $

c) Základ je zlomek nebo desetinné číslo:

$(21 ) x = 8 \Rightarrow 2 - x = 23 \Rightarrow - x = 3 \Rightarrow x = -3$

d) Základ i pravá strana obsahují odmocninu:

$9 x = \sqrt 3 1 \Rightarrow 3 2 x = 3 - 21 \Rightarrow 2 x = - 21 \Rightarrow x = - 41 $

e) Substituce — rovnice obsahuje $a 2 x$ i $a x$ :

$2 2 x - 5 \cdot 2 x + 4 = 0$

Zavedeme substituci $y = 2 x$ (a protože $2 x > 0$ , i $y > 0$ ): $y 2 - 5 y + 4 = 0 \Rightarrow$ $(y - 1)(y - 4) = 0 \Rightarrow$ $y 1 = 1, y 2 = 4$ .

Vrátíme se k substituci: $2 x = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ . Oba kořeny vyhovují podmínce $y > 0$ , zkouška vyjde — výsledek: $x 1 = 0, x 2 = 2$ .

Graficky jde o hledání, kde funkce $y = 2 x$ nabývá hodnot $y = 1$ a $y = 4$ (výsledky substituce):

y = 2ˣ — hodnoty y=1 a y=4 nastávají v x=0 a x=2

f) Rovnice bez řešení:

$2 x = -4$

Protože $2 x$ je pro každé reálné $x$ kladné, nemůže se nikdy rovnat zápornému číslu — rovnice nemá řešení.

Příklady na procvičení

Příklad 1: $3 x = 81$

Výsledek: 81 = 3⁴, tedy x = 4

Příklad 2: $9 x = 27$

Výsledek: 3²ˣ = 3³, tedy 2x = 3, x = 3/2

Příklad 3: $(31 ) x = 9$

Výsledek: 3⁻ˣ = 3², tedy −x = 2, x = −2

Příklad 4: $5 2 x - 6 \cdot 5 x + 5 = 0$

Výsledek:

substituce y = 5ˣ (y > 0): y² − 6y + 5 = 0, (y−1)(y−5) = 0, y₁ = 1, y₂ = 5
návrat k substituci: 5ˣ = 1 → x = 0; 5ˣ = 5 → x = 1
výsledek: x₁ = 0, x₂ = 1 (oba splňují y > 0)

Příklad 5: $7 = 2 x$

Výsledek: základy 7 a 2 nejdou převést na společný základ, řešíme logaritmem: x = log 7 / log 2 ≈ 2,807

Shrnutí

Exponenciální rovnice má tvar $a v = b$ .
Postup: znalost mocnin a vzorců pro práci s nimi.
Buď obě strany převedeme na stejný základ (porovnáme exponenty), nebo — pokud to nejde — použijeme logaritmus.
U substitučních úloh ( $a 2 x$ a $a x$ zároveň) je nutné hlídat podmínku $y > 0$ .

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6