Pozn. k obsahu: Sbírka úloh z maturitních testů Cermatu s autorskými řešeními. Úloha 2) odkazovala na obrázek s konkrétními množinami A, B, který není součástí archivu — ponechán jen dochovaný výsledek a obecné zdůvodnění. V úloze 2i) se ztratila dvě konkrétní čísla ze zadání (nahrazena vlastními, typem odpovídajícími dochovanému řešení — viz poznámka u úlohy).
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Množiny (včetně intervalů)
1) Jsou dány množiny A=(−∞;−1) a B=⟨−2;−1⟩. Zapište intervalem A∪B.
Podzim 2013, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: A∪B=(−∞;−1⟩.
Řešení: Značka ∪ znamená sjednocení. Načrtneme si obě množiny na číselnou osu (každou jinou barvou) a sjednocení dostaneme nahrazením obou barev jedinou. Pozor na krajní body (otevřený interval — kulatá závorka, prázdný kroužek; uzavřený interval — “zalomená” závorka, plný kroužek). Protože A pokrývá vše menší než −1 a B do sjednocení navíc přidává bod −1 (a zbytek B už A obsahuje), platí A∪B=(−∞;−1⟩.
2) (Úloha odkazovala na obrázek s konkrétními množinami A, B na číselné ose, který není součástí archivu.) Zapište intervalem A∩B.
Podzim 2014, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: ⟨1;5).
Řešení: Značka ∩ znamená průnik — množinu všech prvků, které mají obě množiny společné (“kde se překrývají”). Podle dochovaného postupu: číslo 5 je prvkem B, ale ne A, do průniku tedy nepatří; číslo 1 je prvkem obou množin, do průniku patří. Výsledek: ⟨1;5).
3) Množina A obsahuje všechna reálná čísla menší nebo rovna 5. Pro množinu B platí B=(−7;6). Zapište intervalem A∪B.
Jaro 2016, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: A∪B=(−∞;6).
Řešení: A=(−∞;5⟩, B=(−7;6). Sjednocením (viz postup u úlohy 1) dostaneme A∪B=(−∞;6) — A pokrývá vše až do 5 včetně, B pak prodlužuje sjednocení dál doprava až těsně pod 6.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) Na číselné ose zobrazte a popište všechna celá čísla, jež náleží množině (−1;2)∪(2;3⟩∪(3;4⟩.
2013, příklad č. 3. Body: 1.
Řešení: Celá čísla jsou (zjednodušeně) čísla, která nejsou desetinná. Po sjednocení všech tří intervalů zjistíme, která celá čísla do výsledné množiny patří: z (−1;2) patří 0 a 1 (ne −1 ani 2, oba krajní body jsou vyloučené); z (2;3⟩ patří 3 (ne 2); z (3;4⟩ patří 4 (ne 3, ten už je zahrnutý z předchozího intervalu). Bod 2 zůstává vyloučen ze všech tří intervalů zároveň — v celém sjednocení tedy chybí. Výsledná celá čísla: 0;1;3;4.
2i) Rozhodněte o pravdivosti tvrzení a)–d):
a) Číslo −2 je prvkem množiny všech přirozených čísel. b) Číslo √9 je prvkem množiny všech přirozených čísel. c) Periodické číslo je prvkem množiny všech racionálních čísel. d) Číslo √7 není prvkem množiny všech racionálních čísel.
2014 (1), příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) ANO, d) ANO.
(Pozn.: konkrétní čísla v b) a d) se v podkladu ztratila — dochovalo se jen zdůvodnění “b) ANO (___ = 3)” a “d) je to číslo iracionální”, což jednoznačně ukazuje na odmocniny; doplněno √9=3 a √7 jako reprezentativní příklad iracionální odmocniny.)
Řešení: a) NE — přirozená čísla jsou 1,2,3,4,\dots, záporná čísla mezi ně nepatří. b) ANO — √9=3, a 3 je přirozené číslo. c) ANO — všechna periodická čísla patří mezi racionální (kromě racionálních existují ještě čísla iracionální, která také “nikde nekončí”, ale nemají periodu; sjednocením racionálních a iracionálních čísel dostaneme všechna reálná čísla). d) ANO — √7 je iracionální. Typickými příklady iracionálních čísel jsou právě takové odmocniny z přirozených čísel, jejichž výsledkem není přirozené číslo, např. √2,√3,√5,√6,√7,√8 atd.
3i) Jsou dány množiny A=(−∞;0⟩, B=(−2;3), C=⟨−3;−2⟩. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení:
a) A∩B=(−2;0⟩ b) A∪B=(−∞;2⟩ c) A∩C=(−∞;0⟩ d) B∪C=−3;−2;−1;0;1;2
2014 (2), příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) ANO, b) NE, c) NE, d) NE.
Řešení: a) skutečně A∩B=(−2;0⟩ — tvrzení PRAVDIVÉ. b) ve skutečnosti A∪B=(−∞;3), ne (−∞;2⟩ — tvrzení NEPRAVDIVÉ. c) protože celé C⊂A (obě krajní hodnoty −3,−2 jsou ≤0), je ve skutečnosti A∩C=C=⟨−3;−2⟩, ne (−∞;0⟩ — tvrzení NEPRAVDIVÉ. d) ve skutečnosti B∪C=⟨−3;3) (interval, ne konečná množina bodů — C končí v −2 včetně, B začíná těsně za −2, takže na sebe přesně navazují bez mezery) — tvrzení NEPRAVDIVÉ.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 2) Množiny ( včetně intervalů ).pdf.