Pozn.: Zdrojové PDF obsahovalo text ve formě, kterou automatický převod nedokázal přečíst (stránka vypadala prázdná). Zadání devíti výrazů se dochovalo ručním přepisem přímo ze zdrojového souboru, teorie a výsledky ale chyběly úplně — doplněny a ověřeny.
Usměrnění zlomku znamená odstranit odmocninu ze jmenovatele. Zlomek rozšíříme vhodným výrazem tak, aby po vynásobení jmenovatel odmocninu už neobsahoval:
- Je-li jmenovatel samotná odmocnina √a, rozšíříme zlomek výrazem √a — dostaneme a (druhou mocninu odmocniny).
- Je-li jmenovatel součet nebo rozdíl dvou odmocnin (příp. čísla a odmocniny), rozšíříme zlomek jejich “sdruženým výrazem” (stejné členy, opačné znaménko uprostřed) — díky vzorci (a−b)(a+b)=a2−b2 tím odmocniny ze jmenovatele zmizí.
Příklad: Usměrněte √25.
√25=√2⋅√25⋅√2=25√2
Příklad: Usměrněte √5−√31.
Rozšíříme sdruženým výrazem √5+√3:
√5−√31=(√5−√3)(√5+√3)√5+√3=5−3√5+√3=2√5+√3
Usměrni zlomky
a) √34
b) √63√2
c) √77
d) √5625
e) √11−3
f) 3−√69√2
g) 1+√21
h) √3−√42
i) √3+√5√3
Výsledek:
- a) 4√3/3
- b) 3√2·√6/6 = 3√12/6 = 3·2√3/6 = √3
- c) 7√7/7 = √7
- d) 625√5/5 = 125√5
- e) -3√11/11
- f) rozšíř (3+√6): 9√2(3+√6)/(9-6) = (27√2+18√3)/3 = 9√2+6√3
- g) rozšíř (1-√2): (1-√2)/(1-2) = (1-√2)/(-1) = √2-1
- h) √4=2, rozšíř (√3+2): 2(√3+2)/(3-4) = (2√3+4)/(-1) = -(2√3+4)
- i) rozšíř (√3-√5): √3(√3-√5)/(3-5) = (3-√15)/(-2) = (√15-3)/2
Zdroje
Zdrojový dokument: mat/usměrňování_zlomků.pdf