Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pozn. k obsahu: Vzorce pro mocninový zápis velkých čísel a pravidla pro počítání s mocninami byly v PDF vysázené jako obrázky/vzorce a nedochovaly se — doplněny standardním zněním.

V matematice se snažíme o co nejstručnější zápisy. Součet $7 + 7 + 7 + 7 + 7$ zapíšeme jako součin $5 \cdot 7$ . Podobně součin $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ zapíšeme jako mocninu $75$ .

Mocniny znali již staří Řekové. Současný zápis mocnin zavedl teprve francouzský matematik René Descartes v roce 1637 (viz Kartézská soustava souřadnic, kterou zavedl tentýž matematik).

Pro každé reálné číslo $a$ a každé přirozené číslo $n$ je:

$a n = n činitelů a \cdot a \cdot a \dots a $

Výraz $a n$ se nazývá mocnina, $a$ je základ mocniny (mocněnec), $n$ je mocnitel (exponent).

Z definice vyplývá:

Pro každé reálné číslo $a$ platí $a 1 = a$ .
Pro každé přirozené číslo $n$ platí $1 n = 1$ a $0 n = 0$ .

Znaménko mocniny

Je-li $a$ kladné reálné číslo, je mocnina $a n$ vždy kladná.

Je-li $a$ záporné reálné číslo, záleží na tom, zda je mocnitel sudé, nebo liché číslo:

Je-li mocnitel sudý, je mocnina součinem sudého počtu záporných činitelů, a je proto kladná.
Je-li mocnitel lichý, je mocnina součinem lichého počtu záporných činitelů, a je proto záporná.

Zápis velkých čísel

V matematice, přírodních a technických vědách často pracujeme s velmi velkými (nebo velmi malými) čísly, která zpravidla zapisujeme pomocí mocnin se základem 10 — tzv. vědecký zápis:

$a \cdot 10 n, kde 1 \leq a < 10, n \in Z$

Např. vzdálenost Země od Slunce $\approx 1, 496 \cdot 108 km$ , hmotnost elektronu $\approx 9, 109 \cdot 10 -31 kg$ .

Pravidla pro počítání s mocninami

Pro každé reálné číslo $a \neq = 0$ a každá přirozená čísla $r$ , $s$ platí:

$a r \cdot a s = a r + s$

$a s a r = a r - s (r > s)$

$(a r) s = a r \cdot s$

Pro každá dvě reálná čísla $a$ , $b$ a každé přirozené číslo $r$ platí:

$(a \cdot b) r = a r \cdot b r$

$(b a ) r = b r a r (b \neq = 0)$

Příklady na procvičení

1. Vypočítejte:

a) $(-2) 5$
b) $(-3) 4$
c) $-3 4$
d) $(21 ) 3$

Výsledek: a) $-32$ , b) $81$ , c) $-81$ (mocní se jen trojka, minus zůstává před ní), d) $81 $

2. Bez počítání určete znaménko čísel $(-7) 103$ a $(-0, 5) 20$ .

Výsledek: $(-7) 103$ je záporné (lichý mocnitel), $(-0, 5) 20$ je kladné (sudý mocnitel)

3. Zjednodušte ( $x, y \neq = 0$ ):

a) $a 3 \cdot a 5$
b) $x 3 x 7 $
c) $(y 2) 4$
d) $(2 ab 2) 3$

Výsledek: a) $a 8$ , b) $x 4$ , c) $y 8$ , d) $8 a 3 b 6$

4. Zjednodušte $(3 x 2 y) 2 \cdot 2 x y 3$ .

Výsledek: $9 x 4 y 2 \cdot 2 x y 3 = 18 x 5 y 5$

5. Vypočítejte bez kalkulačky: a) $27210 $ , b) $54 53 \cdot 52 $ .

Výsledek: a) $23 = 8$ , b) $5 3+2-4 = 5$

6. Zapište ve vědeckém tvaru: a) $4500000$ , b) $0, 00072$ .

Výsledek: a) $4, 5 \cdot 106$ , b) $7, 2 \cdot 10 -4$

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Mocniny s přirozeným mocnitelem.pdf

Pracovní plocha

Piš sem myší, prstem nebo perem… Dva prsty posouvají a přibližují, ťuknutí dvěma prsty vrátí krok. Shift = rovná čára.

Výsledek:

Zdroj: mat2/Mocniny s přirozeným mocnitelem.pdf