Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pozn. k obsahu: Vzorce pro mocninový zápis velkých čísel a pravidla pro počítání s mocninami byly v PDF vysázené jako obrázky/vzorce a nedochovaly se — doplněny standardním zněním.

V matematice se snažíme o co nejstručnější zápisy. Součet $7 + 7 + 7 + 7 + 7$ zapíšeme jako součin $5 \cdot 7$ . Podobně součin $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ zapíšeme jako mocninu $75$ .

Mocniny znali již staří Řekové. Současný zápis mocnin zavedl teprve francouzský matematik René Descartes v roce 1637 (viz Kartézská soustava souřadnic, kterou zavedl tentýž matematik).

Pro každé reálné číslo $a$ a každé přirozené číslo $n$ je:

$a n = n činitelů a \cdot a \cdot a \dots a $

Výraz $a n$ se nazývá mocnina, $a$ je základ mocniny (mocněnec), $n$ je mocnitel (exponent).

Z definice vyplývá:

Pro každé reálné číslo $a$ platí $a 1 = a$ .
Pro každé přirozené číslo $n$ platí $1 n = 1$ a $0 n = 0$ .

Znaménko mocniny

Je-li $a$ kladné reálné číslo, je mocnina $a n$ vždy kladná.

Je-li $a$ záporné reálné číslo, záleží na tom, zda je mocnitel sudé, nebo liché číslo:

Je-li mocnitel sudý, je mocnina součinem sudého počtu záporných činitelů, a je proto kladná.
Je-li mocnitel lichý, je mocnina součinem lichého počtu záporných činitelů, a je proto záporná.

Zápis velkých čísel

V matematice, přírodních a technických vědách často pracujeme s velmi velkými (nebo velmi malými) čísly, která zpravidla zapisujeme pomocí mocnin se základem 10 — tzv. vědecký zápis:

$a \cdot 10 n, kde 1 \leq a < 10, n \in Z$

Např. vzdálenost Země od Slunce $\approx 1, 496 \cdot 108 km$ , hmotnost elektronu $\approx 9, 109 \cdot 10 -31 kg$ .

Pravidla pro počítání s mocninami

Pro každé reálné číslo $a \neq = 0$ a každá přirozená čísla $r$ , $s$ platí:

$a r \cdot a s = a r + s a s a r = a r - s (r > s) (a r) s = a r \cdot s$

Pro každá dvě reálná čísla $a$ , $b$ a každé přirozené číslo $r$ platí:

$(a \cdot b) r = a r \cdot b r (b a ) r = b r a r (b \neq = 0)$

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Mocniny s přirozeným mocnitelem.pdf