Inverzní funkce

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky, vzorce a grafy vložené jako obrázky, které se při prvním převodu z velké části ztratily. Text, vzorce, tabulky a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované z dochovaných tabulek hodnot; všechny předpisy inverzních funkcí byly nezávisle odvozené a ověřené.

Osnova

a) pojem inverzní funkce, b) ukázkové příklady, c) příklady na procvičení včetně řešení.

„Inverzní” znamená „převrácená”. Značení: původní funkce f, inverzní funkce f−1 (případně f′).

Nechť je funkce f prostá (tj. buď jen rostoucí, nebo jen klesající na celém svém definičním oboru). Pak k ní existuje inverzní funkce f−1, pro kterou platí:

D(f)=H(f−1)

H(f)=D(f−1)

Je-li funkce f rostoucí (klesající), je i funkce f−1 rostoucí (klesající).

Pozn.: pro některé funkce neexistuje inverzní funkce na celém jejich D(f), protože na něm nejsou prosté (např. y=x2 na celém R). Pokud ale definiční obor vhodně omezíme (např. jen na x≥0), inverzní funkci už najít můžeme.

Předpis inverzní funkce zjistíme tak, že v předpisu původní funkce zaměníme x a y a znovu vyjádříme y. Grafy původní a inverzní funkce jsou souměrné podle osy y=x.

Typické dvojice funkce/inverzní funkce: f:y=2x a f−1:y=2x​; f:y=ex a f−1:y=lnx; f:y=x2 (na D(f)=⟨0;∞)) a f−1:y=√x.

Ukázkový příklad 1

Sestrojte graf inverzní funkce k funkci f:y=2x+1. Určete definiční obory a obory hodnot.

Funkce f má D(f)=R, tedy H(f−1)=R.

Předpis f−1: zaměníme x a y: x=2y+1, odtud x−1=2y, tedy f−1:y=2x−1​.

H(f)=R, a tedy D(f−1)=R.

Ukázkový příklad 2

Sestrojte graf inverzní funkce k funkci f:y=2x2, D(f)=⟨0;∞). Určete definiční obory a obory hodnot.

Funkce f má D(f)=⟨0;∞), tedy H(f−1)=⟨0;∞).

Předpis f−1: zaměníme x a y: x=2y2, odtud y2=2x​, a protože D(f)=⟨0;∞) vyžaduje H(f−1)=⟨0;∞), bereme jen kladný kořen: f−1:y=√2x​​.

H(f)=⟨0;∞), a tedy D(f−1)=⟨0;∞).

Příklady na procvičení

Příklad 1: Sestrojte graf inverzní funkce k funkci f:y=2x​+3, D(f)=⟨−6;2). Určete H(f), D(f−1), H(f−1). Nalezněte předpis inverzní funkce.

Výsledek:

• tabulka: x=−6→y=0, x=2→y=4
• H(f): ⟨0; 4)
• předpis f−1: x = y/2 + 3 → y = 2x − 6, tedy f⁻¹: y = 2x − 6
• D(f−1)=H(f): ⟨0; 4)
• H(f−1)=D(f): ⟨−6; 2)

Příklad 2: Sestrojte graf inverzní funkce k funkci f:y=x2+3, D(f)=⟨0;∞). Určete H(f), D(f−1), H(f−1). Nalezněte předpis inverzní funkce.

Výsledek:

• tabulka: x=0,1,2,3,4 → y=3,4,7,12,19
• H(f): ⟨3; ∞)
• předpis f−1: x = y² + 3 → y² = x − 3 → y = √(x−3), tedy f⁻¹: y = √(x−3)
• D(f−1)=H(f): ⟨3; ∞)
• H(f−1)=D(f): ⟨0; ∞)

Shrnutí

• Inverzní funkce = „převrácená” funkce, existuje jen pro prosté funkce (rostoucí, nebo klesající).
• Platí: D(f)=H(f−1) a H(f)=D(f−1).
• Předpis f−1 získáme záměnou x a y v předpisu f a vyjádřením y.

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6