Inverzní funkce

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky, vzorce a grafy vložené jako obrázky, které se při prvním převodu z velké části ztratily. Text, vzorce, tabulky a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované z dochovaných tabulek hodnot; všechny předpisy inverzních funkcí byly nezávisle odvozené a ověřené.

Osnova

a) pojem inverzní funkce, b) ukázkové příklady, c) příklady na procvičení včetně řešení.

„Inverzní” znamená „převrácená”. Značení: původní funkce $f$ , inverzní funkce $f -1$ (případně $f ’$ ).

Nechť je funkce $f$ prostá (tj. buď jen rostoucí, nebo jen klesající na celém svém definičním oboru). Pak k ní existuje inverzní funkce $f -1$ , pro kterou platí:

$D (f) = H (f -1), H (f) = D (f -1)$

Je-li funkce $f$ rostoucí (klesající), je i funkce $f -1$ rostoucí (klesající).

Pozn.: pro některé funkce neexistuje inverzní funkce na celém jejich $D (f)$ , protože na něm nejsou prosté (např. $y = x 2$ na celém $R$ ). Pokud ale definiční obor vhodně omezíme (např. jen na $x \geq 0$ ), inverzní funkci už najít můžeme.

Předpis inverzní funkce zjistíme tak, že v předpisu původní funkce zaměníme $x$ a $y$ a znovu vyjádříme $y$ . Grafy původní a inverzní funkce jsou souměrné podle osy $y = x$ .

Typické dvojice funkce/inverzní funkce: $f : y = 2 x$ a $f -1 : y = 2 x $ ; $f : y = e x$ a $f -1 : y = ln x$ ; $f : y = x 2$ (na $D (f) = ⟨0; \infty)$ ) a $f -1 : y = \sqrt x$ .

Ukázkový příklad 1

Sestrojte graf inverzní funkce k funkci $f : y = 2 x + 1$ . Určete definiční obory a obory hodnot.

x	−2	3
y	−3	7

f: y = 2x + 1

Funkce $f$ má $D (f) = R$ , tedy $H (f -1) = R$ .

Předpis $f -1$ : zaměníme $x$ a $y$ : $x = 2 y + 1$ , odtud $x - 1 = 2 y$ , tedy $f -1 : y = 2 x - 1 $ .

$H (f) = R$ , a tedy $D (f -1) = R$ .

f⁻¹: y = (x−1)/2

Ukázkový příklad 2

Sestrojte graf inverzní funkce k funkci $f : y = 2 x 2$ , $D (f) = ⟨0; \infty)$ . Určete definiční obory a obory hodnot.

x	0	1	2	3	4
y	0	2	8	18	32

f: y = 2x², D(f) = ⟨0;∞)

Funkce $f$ má $D (f) = ⟨0; \infty)$ , tedy $H (f -1) = ⟨0; \infty)$ .

Předpis $f -1$ : zaměníme $x$ a $y$ : $x = 2 y 2$ , odtud $y 2 = 2 x $ , a protože $D (f) = ⟨0; \infty)$ vyžaduje $H (f -1) = ⟨0; \infty)$ , bereme jen kladný kořen: $f -1 : y = \sqrt 2 x $ .

$H (f) = ⟨0; \infty)$ , a tedy $D (f -1) = ⟨0; \infty)$ .

f⁻¹: y = √(x/2)

Příklady na procvičení

Příklad 1: Sestrojte graf inverzní funkce k funkci $f : y = 2 x + 3$ , $D (f) = ⟨-6; 2)$ . Určete $H (f)$ , $D (f -1)$ , $H (f -1)$ . Nalezněte předpis inverzní funkce.

f: y = x/2 + 3, D(f) = ⟨−6;2)

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek:

tabulka: x=−6→y=0, x=2→y=4
$H (f)$ : ⟨0; 4)
předpis $f -1$ : x = y/2 + 3 → y = 2x − 6, tedy f⁻¹: y = 2x − 6
$D (f -1) = H (f)$ : ⟨0; 4)
$H (f -1) = D (f)$ : ⟨−6; 2)

Příklad 2: Sestrojte graf inverzní funkce k funkci $f : y = x 2 + 3$ , $D (f) = ⟨0; \infty)$ . Určete $H (f)$ , $D (f -1)$ , $H (f -1)$ . Nalezněte předpis inverzní funkce.

f: y = x² + 3, D(f) = ⟨0;∞)

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek:

tabulka: x=0,1,2,3,4 → y=3,4,7,12,19
$H (f)$ : ⟨3; ∞)
předpis $f -1$ : x = y² + 3 → y² = x − 3 → y = √(x−3), tedy f⁻¹: y = √(x−3)
$D (f -1) = H (f)$ : ⟨3; ∞)
$H (f -1) = D (f)$ : ⟨0; ∞)

Shrnutí

Inverzní funkce = „převrácená” funkce, existuje jen pro prosté funkce (rostoucí, nebo klesající).
Platí: $D (f) = H (f -1)$ a $H (f) = D (f -1)$ .
Předpis $f -1$ získáme záměnou $x$ a $y$ v předpisu $f$ a vyjádřením $y$ .

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6