Výrok, negace výroku

Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé.

Příklady výroků:

1. Číslo 2 je prvočíslo.
2. Číslo 8 je liché.
3. Paříž je hlavní město Španělska.
4. Pro každé reálné číslo platí: (−a)2=a2.

Příklady sdělení, které výroky nejsou:

5. Kolik je hodin?
6. Jdi domů!
7. (−a)2=a2

Výrokem tedy nejsou otázky ani příkazy. Rovnost v příkladu 4) je výrok (obsahuje kvantifikátor “pro každé”), ale rovnost v příkladu 7) výrok není — musíme vždy specifikovat, pro jaká a daná rovnost platí (bez toho nemá smysl ptát se, zda je “pravdivá”).

Příklad: Určete, které sdělení je výrok:

1. Těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě.
2. Všechna reálná čísla jsou kladná.
3. Některá reálná čísla jsou kladná.
4. Haha.
5. Hlavním městem Německa je Londýn.
6. Máš čas?
7. (a+b)2=a2+b2.

Výsledek:

• 1) výrok (pravdivý)
• 2) výrok (nepravdivý)
• 3) výrok (pravdivý)
• 4) NENÍ výrok (citoslovce, nemá pravdivostní hodnotu)
• 5) výrok (nepravdivý — hl. město Německa je Berlín)
• 6) NENÍ výrok (otázka)
• 7) NENÍ výrok (bez kvantifikátoru — platí jen pro některá a,b, ne obecně)

Negace výroku

Negace výroku v je výrok “Není pravda, že v”. Značíme ji ¬v. Pokud je výrok v pravdivý, je ¬v nepravdivý, a naopak.

Negaci výroku můžeme vyslovit i v lepším znění než “není pravda, že” — např. “Není pravda, že číslo 8 je sudé” lze vyjádřit jako “Číslo 8 je liché”. Musíme ale dát pozor, abychom do negace zahrnuli všechny možnosti, které původní výrok nezahrnuje.

Příklad: Zneguj bez použití “není pravda, že”:

1. Číslo 8 je kladné číslo.
2. Je den.
3. Je podzim.
4. Je středa nebo čtvrtek.
5. √2+π>4

Výsledek:

• 1) Číslo 8 je záporné nebo nulové (nekladné).
• 2) Je noc.
• 3) Není podzim (je jaro, léto nebo zima).
• 4) Není středa ani čtvrtek.
• 5) √2+π≤4

Do negace výroku musíme vždy zahrnout všechny možnosti, které neobsahuje původní výrok.

Příklad: Posuďte pravdivost výroků a utvořte jejich negace:

1. Číslo 5 je nezáporné.
2. √5>2
3. Číslo 6−9 není kladné.
4. 5−8≥4−6
5. √49=7

Výsledek:

• 1) pravdivý (5≥0); negace: “Číslo 5 je záporné” (nepravdivá).
• 2) pravdivý (√5≈2,236>2); negace: √5≤2 (nepravdivá).
• 3) pravdivý (6-9=-3, není kladné); negace: “Číslo 6-9 je kladné” (nepravdivá).
• 4) nepravdivý (5-8=-3, 4-6=-2, a -3≥-2 neplatí); negace: 5-8<4-6 (pravdivá).
• 5) nepravdivý (√49=7 přesně); negace: √49=7 (pravdivá)

Příklad: Určete, který z následujících výroků je pravdivý:

1. Rovnici 2(3x−1)=6x−2 vyhovuje každé přirozené číslo.
2. Absolutní hodnota každého čísla je číslo kladné.
3. Vzdálenost libovolných dvou bodů je číslo nezáporné.
4. Pro každé přirozené číslo x je číslo x+1 kladné.
5. Pro každé celé číslo x je číslo x+1 kladné.

Výsledek:

• 1) PRAVDIVÝ — rovnice je identita (6x-2=6x-2), platí pro každé x.
• 2) NEPRAVDIVÝ — protipříklad |0|=0, což není kladné číslo.
• 3) PRAVDIVÝ — vzdálenost je vždy ≥0.
• 4) PRAVDIVÝ — nejmenší přirozené číslo dává x+1≥1>0.
• 5) NEPRAVDIVÝ — protipříklad x=-2: x+1=-1, což není kladné

Negace výroků o počtu (“alespoň”, “nejvýše”)

Řekneme-li, že množina má alespoň k prvků, znamená to, že počet jejích prvků je větší nebo roven k. Řekneme-li, že má nejvýše k prvků, znamená to, že jejich počet je menší nebo roven k.

Příklad: Zneguj:

1. Rovnice x8−1=0 má alespoň dva reálné kořeny.
2. V této přihrádce je nejvýše 10 předmětů.
3. Číslo 12 má nejvýše 5 dělitelů.
4. Krychle má nejvýše 8 vrcholů.
5. Množina M má právě n−1 prvků.

Výsledek:

• 1) Rovnice x⁸-1=0 má nejvýše jeden reálný kořen. (mimochodem: původní výrok je pravdivý, rovnice má reálné kořeny x=1 a x=-1, tedy dva)
• 2) V této přihrádce je alespoň 11 předmětů.
• 3) Číslo 12 má alespoň 6 dělitelů. (původní výrok je NEpravdivý — 12 má dělitele 1,2,3,4,6,12, tedy přesně 6, takže negace je pravdivá)
• 4) Krychle má alespoň 9 vrcholů. (původní výrok je pravdivý — krychle má přesně 8 vrcholů, negace je tedy nepravdivá)
• 5) Množina M nemá právě n-1 prvků (má jiný počet prvků než n-1)

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Výrok, negace výroku.pdf