Úsečka, střed a délka úsečky

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Vzdálenost dvou bodů

Vzdálenost bodů $A = [x A ; y A ]$ a $B = [x B ; y B ]$ (délku úsečky $A B$ ) spočítáme z pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky $∣ x B - x A ∣$ a $∣ y B - y A ∣$ — podle Pythagorovy věty:

$∣ A B ∣ = \sqrt (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 $

Úsečka AB, A=[1;2], B=[5;5]

Příklad: Vypočítejte délku úsečky $A B$ , kde $A = [1; 2]$ , $B = [5; 5]$ .

$∣ A B ∣ = \sqrt (5 - 1) 2 + (5 - 2) 2 = \sqrt 16 + 9 = \sqrt 25 = 5$

Střed úsečky

Střed úsečky $S$ má souřadnice rovné aritmetickému průměru souřadnic krajních bodů:

$S = [2 x A + x B ; 2 y A + y B ]$

Příklad: Najděte střed úsečky $A B$ , kde $A = [1; 2]$ , $B = [5; 5]$ .

$S = [2 1 + 5 ; 2 2 + 5 ] = [3; 3, 5]$

Příklady

1. Vypočítejte délku úsečky $C D$ , kde $C = [-2; 3]$ , $D = [4; -5]$ .

Výsledek: |||CD| = √((4-(-2))²+(-5-3)²) = √(36+64) = √100 = 10||

2. Najděte střed úsečky $C D$ , kde $C = [-2; 3]$ , $D = [4; -5]$ .

Výsledek: S = [(-2+4)/2; (3+(-5))/2] = [1; -1]

3. Bod $M = [2; 1]$ je středem úsečky $E F$ . Znáte-li $E = [-1; 4]$ , určete souřadnice bodu $F$ .

Výsledek: ze vzorce pro střed: x_M=(x_E+x_F)/2 → 2=(-1+x_F)/2 → x_F=5; y_M=(y_E+y_F)/2 → 1=(4+y_F)/2 → y_F=-2; F=[5;-2]

4. Rozhodněte, zda je trojúhelník s vrcholy $A = [0; 0]$ , $B = [4; 0]$ , $C = [2; 2 \sqrt 3]$ rovnostranný.

Výsledek: |||AB|=√(16+0)=4; |AC|=√(4+12)=√16=4; |BC|=√((2-4)²+(2√3)²)=√(4+12)=√16=4; všechny tři strany mají délku 4, trojúhelník JE rovnostranný||

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.