Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily. Text a vzorce jsou zde doplněné/rekonstruované; u jednoho odvození (posun. příklad s (x+2)²−20=…) čísla v podkladu neseděla, nahrazeno ověřeným příkladem se stejným cílem (Vietovy vzorce).
Osnova
a) pojem kvadratická rovnice, b) rozdělení kvadratických rovnic, c) způsoby řešení, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.
Kvadratická rovnice
Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici v obecném tvaru ax2+bx+c=0, kde koeficienty a,b,c∈R a a=0.
- ax2 — kvadratický člen
- bx — lineární člen
- c — absolutní člen
Pozn.: pokud by bylo a=0, nejde o kvadratickou rovnici.
Pozn.: rovnice se stává (ne)kvadratickou až po matematických úpravách — nelze to tedy poznat hned ze zadání.
Př.: (2x−5)(x+4)=0 — roznásobíme závorky: 2x2+8x−5x−20=0, sečteme: 2x2+3x−20=0 → dostali jsme kvadratickou rovnici.
Ale pozor — Př.: (2x−5)(x+4)=2x2−4 — roznásobíme: 2x2+8x−5x−20=2x2−4, členy s x2 se na obou stranách odečtou: 8x−5x=20−4, tedy 3x=16 → nejde o kvadratickou rovnici, ale o lineární!
Typy kvadratické rovnice
Úplná kvadratická rovnice má všechny tři členy: ax2+bx+c=0.
Neúplná kvadratická rovnice — chybí jí absolutní nebo lineární člen (nebo oba):
- ax2+bx=0 (chybí absolutní člen)
- ax2+c=0 (chybí lineární člen)
- ax2=0 (chybí lineární i absolutní člen)
Způsoby řešení — úplná kvadratická rovnice
a) diskriminant a vzorec pro výpočet kořenů
D=b2−4ac,x1,2=2a−b±√D
- D>0 → dvě různá řešení
- D=0 → jeden dvojnásobný kořen
- D<0 → nemá řešení v oboru R (má řešení v oboru C)
b) Vietovy vzorce
x1⋅x2=ac,x1+x2=−ab
Hledáme dvě čísla, jejichž součin je c/a a součet −b/a.
Pozn.: Vietovy vzorce se hodí hlavně tehdy, když má rovnice a=1 a b,c∈Z — dvojice čísel se pak dá často uhodnout.
Ukázkový příklad (diskriminant)
(2x−5)(x+4)=0 → 2x2+8x−5x−20=0 → 2x2+3x−20=0
Vypíšeme koeficienty: a=2, b=3, c=−20 (Vietovy vzorce nepoužijeme, protože a=1).
Ukázkový příklad (Vietovy vzorce)
Řešte rovnici x2+20x+64=0 pomocí Vietových vzorců.
Hledáme dvě čísla, jejichž součin je 64 a součet −20 — zkusíme kombinace dělitelů čísla 64 (např. 8 a 8, −8 a −8, 16 a 4, −16 a −4):
x1=−16,x2=−4
Ověření: (−16)⋅(−4)=64 ✓ a (−16)+(−4)=−20 ✓.
Příklady na procvičení (úplná rovnice)
Př. 1: 2x2+5x−3=0
Výsledek:
- koeficienty: a=2, b=5, c=−3
- diskriminant: D = 25+24 = 49, √D = 7
- kořeny: x₁ = (−5+7)/4 = 0,5, x₂ = (−5−7)/4 = −3
Př. 2: −3x2+12x−12=5x2+10x−13
Výsledek:
- úprava: −8x² + 2x + 1 = 0, po vynásobení −1: 8x² − 2x − 1 = 0
- diskriminant: D = 4+32 = 36, √D = 6
- kořeny: x₁ = (2+6)/16 = 0,5, x₂ = (2−6)/16 = −0,25
Př. 3 (Vietovy vzorce): x2+2x−3=0
Výsledek: hledáme součin −3 a součet −2 → x₁ = 1, x₂ = −3
Př. 4 (Vietovy vzorce): (x+1)2=16
Výsledek: po úpravě x² + 2x − 15 = 0, hledáme součin −15 a součet −2 → x₁ = −5, x₂ = 3
Způsoby řešení — neúplná kvadratická rovnice
a) diskriminant a vzorec pro kořeny — stejně jako u úplné rovnice, jen některé koeficienty jsou nulové.
b) vytýkání — chybí-li absolutní člen (ax2+bx=0), vytkneme x:
Př.: x2+3x=0 → x(x+3)=0 → x1=0 nebo x+3=0⇒x2=−3
Př.: 4x2−11x=x(4−x) — roznásobíme a převedeme vše na levou stranu: 4x2−11x−4x+x2=0 → 5x2−15x=0, vydělíme 5: x2−3x=0 → x(x−3)=0 → x1=0, x2=3
c) odmocnění — chybí-li lineární člen (ax2+c=0), osamostatníme x2 a odmocníme:
Př.: (x−2)2=8−4x → x2−4x+4=8−4x → x2−4x+4−8+4x=0 → x2−4=0 → x2=4 → ∣x∣=2 → x1=2, x2=−2
Pozn.: u rovnic typu x2+c=0 s c>0 lze rovnou říct, že nemá řešení v R (součet dvou nezáporných čísel nemůže být nula, pokud c>0).
Shrnutí
- Obecný tvar kvadratické rovnice: ax2+bx+c=0
- Typy: úplná × neúplná
- Způsoby řešení: diskriminant a vzorec pro kořeny, Vietovy vzorce, vytýkání, odmocnění
Zdroje
HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6