Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace byla ve velké míře čitelná, jen sekce o heslech na konci ztratila konkrétní vypočítané výsledky (zůstala jen zadání) — doplněno a nezávisle přepočítáno. Zbytek je zachovaný a ověřený (mj. netriviální výpočet přes 69 trojciferných čísel se součtem číslic 13 vyšel při přepočítání přesně stejně jako v podkladu).
Jedna ze života
V zásuvce je 10 černých a 10 šedých ponožek. Ráno ještě v polospánku taháme naslepo ponožky.
a) Kolik jich musíme vzít, aby bylo jisté, že se mezi nimi najde pár?
Výsledek: stačí vzít tři ponožky — potřebujeme dvě ponožky jedné barvy, nezáleží na tom, zda budou černé, nebo šedé. Možné situace při 3 taženích: ČČČ, ČČŠ, ČŠŠ, ŠŠŠ — ve všech se pár najde.
b) Kolik jich musíme vzít, aby se mezi nimi našel černý pár?
Výsledek: musíme počítat s nejhorším případem — nejdřív můžeme natáhnout všech 10 šedých. Pak potřebujeme ještě 2 černé, tedy 10 + 2 = 12 ponožek, abychom měli jistotu černého páru.
A ještě jedna podobná
V šatně nám praskla žárovka a je tam tma, nemám před odchodem čas ji vyměnit a potřebuji si vzít rukavice. V zásuvce je 5 párů černých a 5 párů modrých rukavic. Pozor, pravá a levá rukavice se od sebe liší!
a) Kolik jich musím vzít, aby bylo jisté, že se mezi nimi najde pár (jedné barvy)?
Výsledek: nejhorší případ: vezmeme všech 5 pravých černých + 5 pravých modrých = 10 rukavic, stále bez páru (samé pravé). Jedenáctá rukavice už musí být levá nějaké barvy a vytvoří pár s odpovídající pravou. Minimálně 11 rukavic.
b) Kolik jich musím vzít, aby se mezi nimi našel černý pár?
Výsledek: nejhorší případ: nejdřív všech 10 modrých (bez černé vůbec), pak 5 pravých černých (stále bez černého páru, jen pravé), a šestnáctá rukavice (černá levá) už černý pár zaručí. Minimálně 10 + 5 + 1 = 16 rukavic.
Něco z matematiky
Kolik celých čísel menších než 1000 má ciferný součet 13?
Rozdělíme podle počtu číslic:
- jednociferná čísla: 0 možností (nejvyšší možný ciferný součet jednociferného čísla je 9)
- dvojciferná čísla: 49, 58, 67, 76, 85, 94 → 6 možností
- trojciferná čísla: hledáme a1+a2+a3=13, kde a1∈1,…,9 (nesmí být 0), a2,a3∈0,…,9. Rozdělíme podle toho, jaké trojice číslic (bez ohledu na pořadí) součet 13 dávají:
- trojice obsahující nulu — (9,4,0), (8,5,0), (7,6,0): 3 trojice, každá dává 3!−2!=4 platných pořadí (nula nesmí být na první pozici) → 3⋅4=12
- trojice se třemi různými nenulovými číslicemi — (9,3,1), (8,4,1), (7,5,1), (6,4,3), (8,3,2), (7,4,2), (6,5,2): 7 trojic, každá dává 3!=6 pořadí → 7⋅6=42
- trojice s opakovanou číslicí (bez nuly) — (9,2,2), (7,3,3), (5,4,4), (3,5,5), (1,6,6): 5 trojic, každá dává 3!/2!=3 pořadí → 5⋅3=15
- celkem: 12+42+15=69
Výsledek: 0+6+69=75 celých čísel menších než 1000 má ciferný součet 13.
Cestujeme vlakem
V kupé je deset míst, pět ve směru jízdy a pět proti směru. Tři pasažéři chtějí sedět ve směru jízdy a jeden proti směru jízdy. Ostatním šesti, mezi něž patří Venoušek s maminkou, je to jedno, až na to, že Venoušek chce sedět u okna a vedle maminky. Kolika způsoby se mohou cestující usadit, aby byli všichni spokojeni?
(Tato úloha byla v podkladu záměrně ponechána jako výzva k samostatnému řešení — bez uvedeného výsledku.)
Tombola
Sto vstupenek očíslovaných 1 až 100 jde do tomboly, losují se čtyři ceny (1.–4.).
a) Lístek 13 má vyhrát první cenu?
Zbylé tři ceny se rozdělí mezi zbývajících 99 lístků (záleží na pořadí — variace):
99⋅98⋅97=941,094
b) Lístek 13 má vyhrát (nějakou) cenu?
Nejprve 4 možnosti, kterou cenu vyhraje lístek 13, pak rozdělíme zbylé tři ceny mezi zbylých 99 lístků:
4⋅99⋅98⋅97=3,764,376
c) Lístek 13 nemá vyhrát žádnou cenu?
Vybíráme čtyři ceny (uspořádaně) z 99 lístků, které zbydou po vyřazení lístku 13:
99⋅98⋅97⋅96=90,345,024
d) Lístky 13 a 23 mají vyhrát cenu?
Vybereme, kterou cenu vyhraje lístek 13 (4 možnosti), pak kterou z do zbylých tří vyhraje lístek 23 (3 možnosti), a nakonec rozdělíme zbylé dvě ceny mezi zbylých 98 lístků:
4⋅3⋅98⋅97=114,072
e) Vyhrát první cenu má buď lístek 13, nebo lístek 23?
Obě možnosti (13 vyhraje první cenu / 23 vyhraje první cenu) jsou disjunktní — každá dává 99⋅98⋅97 způsobů rozdělení zbylých cen, proto sečteme:
2⋅99⋅98⋅97=1,882,188
(Pozor, neřešíme metodu, jak tyto výhry „zařídit” — jde čistě o počet matematicky možných výsledků losování.)
Heslo a jeho bezpečnost
1. Kolik různých hesel můžeme vytvořit z číslic 0 až 9 (číslice se mohou opakovat)?
a) PIN platební karty, tvořený čtyřmi číslicemi:
V’(4,10)=104=10,000
b) heslo tvořené osmi číslicemi:
V’(8,10)=108=100,000,000
2. Kolik různých hesel délky 8 znaků můžeme vytvořit z písmen a, b, …, y, z (26 písmen)?
a) když nerozlišujeme velká a malá písmena:
V’(8,26)=268=208,827,064,576≈2,09⋅1011
b) když rozlišujeme velká a malá písmena (52 možných znaků na pozici):
V’(8,52)=528=53,459,728,531,456≈5,35⋅1013
3. Kolik osmiznakových hesel můžeme vytvořit při použití číslic i písmen (s rozlišením na velká a malá)?
Máme 10 číslic + 26 malých + 26 velkých písmen =62 možných znaků na každé z 8 pozic:
V’(8,62)=628=218,340,105,584,896≈2,18⋅1014
Pozn. k bezpečnosti hesel: čím delší heslo a čím víc druhů znaků (číslice + malá + velká písmena + speciální znaky) používá, tím rychleji roste počet možných kombinací — a tím déle by trvalo heslo „prolomit” hrubou silou (vyzkoušením všech variací). To je matematický základ doporučení používat dlouhá hesla se smíšenými znaky.
Zdroje
CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.