Exponenciální rovnice

Pozn. k obsahu: Rovnice byly v PDF vysázené jako rovnicové objekty, které se při převodu z větší části ztratily — u všech úloh šlo přesné znění zpětně rekonstruovat z dochovaného postupu řešení a přepočtem ověřit shodu s dochovaným výsledkem.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Exponenciální rovnice

1) V oboru $R$ řešte: $5 x +4 = 5 x 52 $ .

Jaro 2013, příklad č. 12. Body: 2. Výsledek: $K = -1$ .

Řešení: $5 x +4 = 5 2- x ⟹ x + 4 = 2 - x ⟹ 2 x = -2 ⟹ x = -1$ .

2) V oboru $R$ řešte: $\sqrt 2 2 x = 8$ .

Jaro 2014, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: $K = 3$ .

Řešení: $2 2 x :2 = 23 ⟹ x = 3$ .

3) V oboru $R$ řešte: $6 + 4 2 x = 2 x$ .

Podzim 2014, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: $K = 3$ .

Řešení: $/ \cdot 4$ : $24 + 2 x = 4 \cdot 2 x ⟹ 24 = 3 \cdot 2 x / : 3 ⟹ 8 = 2 x ⟹ 23 = 2 x ⟹ x = 3$ .

Pozor: $4 \cdot 2 x \neq = 8 x$ , ale $(4 \cdot 2) x = 8 x$ (to je jiná operace).

4) Přiřaďte rovnicím a), b) jejich množinu řešení:

a) $2 x = 21 $ b) $2 x = 0$

A) $-2$ B) $-1$ C) $\left−21\right$ D) $1$ E) $\emptyset$ F) jiná množina

Podzim 2015, příklad č. 25.1, 25.2. Body: 2. Výsledek: a) B, b) E.

Řešení: a) $2 x = 2 -1 ⟹ x = -1$ .

b) rovnice nemá řešení — nulu nelze napsat jako mocninu čísla 2 (mocnina kladného základu je vždy kladná).

5) V oboru $R$ řešte: $24 \cdot 2 x +1 = 22 \cdot (2 3) x$ .

Podzim 2016, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: $K=\left23\right$ .

Řešení: $2 5+ x = 22 \cdot 2 3 x = 2 2+3 x ⟹ 5 + x = 2 + 3 x ⟹ 3 = 2 x ⟹ x = 23 $ .

6) V oboru $R$ řešte: $3 \cdot 9 x - 9 x = 6$ .

Jaro 2017, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: $K=\left21\right$ .

Řešení (exponenciální rovnice typu 1B): $2 \cdot 9 x = 6 / : 2 ⟹ 9 x = 3 ⟹ (3 2) x = 3 ⟹ 3 2 x = 31 ⟹ 2 x = 1 ⟹ x = 21 $ .

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Řešte rovnici: $53 \cdot 59 = (5 x) 3$ .

2010 (2), příklad č. 6.2. Body: 2. Výsledek: $x = 4$ .

Řešení: $512 = 5 3 x ⟹ 12 = 3 x ⟹ x = 4$ .

2i) V oboru $R$ řešte: $5 3 y = 5 \cdot 5 y$ .

2011, příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: $y = 21 $ .

Řešení: $5 3 y = 5 1+ y ⟹ 3 y = 1 + y ⟹ 2 y = 1 ⟹ y = 21 $ .

3i) Pro $x \in R$ řešte: $(2 -1) x = 22 \cdot (2 2) x$ .

2012, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: $x = - 32 $ .

Řešení: $2 - x = 22 \cdot 2 2 x = 2 2+2 x ⟹ - x = 2 + 2 x ⟹ -2 = 3 x ⟹ x = - 32 $ .

4i) Užitím logaritmů vyjádřete ze vztahu $5 y = 4$ proměnnou $y$ .

2014 (1), příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: $y = log 5 4$ .

Řešení (exponenciální rovnice typu 3 — zlogaritmování stran): $log 5 y = log 4$ . 3. větou o logaritmech: $y log 5 = log 4 / : log 5 ⟹ y = log 5 log 4 = log 5 4$ .

(Pro zlogaritmování lze použít logaritmus o libovolném povoleném základě, jen obě strany musí mít stejný základ — výsledek lze tedy zapsat i jinými ekvivalentními tvary.)

5i) Přiřaďte rovnicím a), b) jejich množinu řešení:

a) $2 x -1 = 41 $ b) $2 x = -4$

A) $-2; 2$ B) $-2$ C) $-1$ D) $1$ E) $2$ F) $\emptyset$

2014 (2), příklad č. 25.1, 25.2. Body: 2. Výsledek: a) C, b) F.

Řešení: a) $2 x -1 = 2 -2 ⟹ x - 1 = -2 ⟹ x = -1$ .

b) rovnice nemá řešení — hodnota libovolné mocniny čísla 2 je vždy kladná, nikdy záporná.

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 29) Exponenciální rovnice.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/29) Exponenciální rovnice.pdf