Rotační kužel · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu; výsledky úkolů (ověřeny přepočtem) do spoilerů. U příkladu 1 dochovaný výsledek odpovídal celkovému povrchu $S$ , ne jen obsahu pláště, jak zadání uvádělo — opraveno na “povrch”. Odkaz na interaktivní GeoGebra applet (rozvinutí pláště kužele) ponechán, funkčnost nebyla ověřována.

Rotační kužel je těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele, otáčením přepony vznikne plášť kužele.

Poloměr podstavy značíme $r$ , tělesovou výšku (vzdálenost vrcholu od středu podstavy) $v$ , stěnovou výšku (délku strany kužele) $s$ . Poloměr, výška a stěnová výška tvoří pravoúhlý trojúhelník — platí mezi nimi Pythagorova věta ( $s 2 = r 2 + v 2$ ) i goniometrické funkce.

$S p = π r 2$

Rozvinutý plášť je kruhová výseč, jejíž délka oblouku je rovna obvodu podstavy kužele a jejíž poloměr je roven stěnové výšce $s$ :

$S p l = π r s$

$S = S p + S p l = π r 2 + π r s = π r (r + s) V = 31 π r 2 v$

Rotační kužel

Interaktivní rozvinutí pláště kužele (GeoGebra)

Úkol (interaktivní, Cabri 3D)

V programu Cabri nakreslete kužel s podstavou o poloměru $r = 6 cm$ a tělesové výšce $v = 8 cm$ . Vyznačte tělesovou výšku $v$ a stěnovou výšku $s$ . Spočtěte délku stěnové výšky $s$ , objem $V$ a povrch $S$ . Své výpočty ověřte programem Cabri.

Příklady

1. Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami $a = 6 cm$ a $b = 8 cm$ rotuje kolem delší odvěsny. Vypočítejte povrch takto vzniklého kužele.

Výsledek: v=8cm (osa rotace), r=6cm (druhá odvěsna); s=√(r²+v²)=√(36+64)=10cm; S=πr(r+s)=π·6·16=96π≈301,59 cm²

2. Objem kužele je $37, 7 cm 3$ , jeho výška $v = 4 cm$ . Vypočítejte povrch kužele.

Výsledek: r²=3V/(πv)=3·37,7/(4π)≈9 → r≈3cm; s=√(r²+v²)=√(9+16)=5cm; S=πr(r+s)=π·3·8=24π≈75,398 cm²

3. Vypočítejte objem rotačního kužele, jehož výška je $5 cm$ a strana svírá s rovinou podstavy úhel $60°$ .

Výsledek: úhel mezi stranou s a podstavou: tg60° = v/r → r = v/tg60° = 5/√3 ≈ 2,887cm; V=(1/3)πr²v=(1/3)π·(25/3)·5≈43,63 cm³

4. Hromada štěrku má tvar rotačního kužele s výškou $0, 5 m$ a obvodem podstavy $9, 42 m$ . Kolik $m 3$ štěrku je na hromadě?

Výsledek: r = o/(2π) = 9,42/(2π) ≈ 1,5m; V=(1/3)πr²v=(1/3)π·2,25·0,5≈1,178 m³

5. Kolik $cm 2$ papíru potřebujeme na vytvoření modelu pláště kužele o poloměru $3 cm$ a výšce $4 cm$ ?

Výsledek: s=√(r²+v²)=√(9+16)=5cm; S_pl=πrs=π·3·5=15π≈47,124 cm²