Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode zlomky), text a výsledky úkolů se ale dochovaly celé — vzorce jsou zde přepsané do LaTeXu, výsledky do spoilerů, čísla stránek odstraněna.
Kružnice je množina všech bodů, které mají od středu S stejnou vzdálenost, tzv. poloměr (∣SA∣=r). Jsou to tedy jen body ležící na okrajové čáře.
Kruh je množina všech bodů, které mají od středu S vzdálenost stejnou nebo menší než poloměr (∣SC∣≤r). Jsou to tedy i body uvnitř kružnice, ne jen na jejím okraji.
Pozn.: poloměr (r) je vzdálenost od středu k bodu na kružnici; průměr (d) je vzdálenost dvou bodů na kružnici, jejichž spojnice prochází středem S (tedy d=2r).
Vzorce
o=2πr=πd(obvod kružnice)
S=πr2(obsah kruhu)
Mezikruží je část obsahu kruhu mezi dvěma soustřednými kružnicemi (stejný střed S, různé poloměry r1>r2):
Smezikruží=πr12−πr22=π(r12−r22)
Úkoly
1. Vypočítejte obvod kružnice a obsah kruhu, je-li průměr roven 6 cm.
Výsledek: r = 3 cm; o = 2πr ≈ 18,85 cm; S = πr² ≈ 28,27 cm²
2. Vypočítejte poloměr atletické dráhy tvaru kružnice, kterou atlet musí oběhnout pětkrát, aby uběhl 7 km.
Výsledek: jeden okruh = 7000/5 = 1400 m = obvod, r = o/(2π) ≈ 222,82 m
3. Zadní kola traktoru mají průměr 1,5 m a přední kola mají poloměr 25 cm. a) V jakém poměru jsou počty jejich otáček? b) Kolikrát se otočí každé kolo při ujetí 30 km?
Výsledek: a) poloměry 75cm : 25cm = 3:1, počty otáček jsou nepřímo úměrné poloměru, tedy poměr otáček 1:3 (zadní:přední). b) obvod zadního kola ≈ 4,71 m → 30000/4,71 ≈ 6366×; obvod předního ≈ 1,57 m → 30000/1,57 ≈ 19099×
4. Jakou dráhu v metrech urazí za týden konec sekundové ručičky dlouhé 3 cm?
Výsledek: za 1 minutu opíše celý obvod = 2π·3cm ≈ 18,85 cm; za týden: 60 min × 24 h × 7 dní = 10080 otoček × 18,85 cm ≈ 190003 cm ≈ 1900,03 m
5. Vypočítejte průměr kruhu, jehož číselná hodnota obsahu a obvodu je vyjádřena stejným číslem.
Výsledek: πr² = 2πr → r = 2 → d = 4 cm
6. Vypočítejte průměr kruhu, je-li jeho obsah 360,14 cm2.
Výsledek: r = √(S/π) ≈ 10,705 cm, d ≈ 21,41 cm
7. Vypočítejte obsah mezikruží ohraničeného kružnicemi o průměru 60 mm a poloměru 40 mm.
Výsledek: r₁=40mm, r₂=30mm (poloviny 60mm); S = π(40²−30²) ≈ 2199,11 mm²
8. Jak široké je mezikruží, jehož obsah je 5200 cm2 a vnější průměr je 100 cm?
Výsledek: r₁=50cm; π(50²−r₂²)=5200 → r₂²=2500−5200/π≈844,7 → r₂≈29,07cm; šířka = r₁−r₂ ≈ 20,93 cm
9. Vypočítejte obsah plochy omezené kružnicí opsanou a vepsanou trojúhelníku o stranách a=25 mm,b=29 mm,c=36 mm.
Výsledek: mezikruží mezi kružnicí opsanou (r) a vepsanou (ρ) tomuto trojúhelníku: S ≈ 830,59 mm²