Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky, tabulky a grafy vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily. Text, vzorce, tabulky a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované; všechny hodnoty byly nezávisle ověřeny.
Osnova
a) pojem logaritmická funkce, b) sestrojení grafu, c) posunutí grafu, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.
Logaritmická funkce
Předpis: f:y=logax (čteme: logaritmus o základu a z hodnoty x), kde x∈R+ (definiční obor se může posunutím změnit) a a∈R+∖{1}, tedy a∈(0;1)∪(1;∞).
Pozn.: logaritmická a exponenciální funkce jsou si navzájem inverzní (viz Inverzní funkce).
Tvar grafu závisí na základu a: pro a∈(0;1) je funkce klesající, pro a∈(1;∞) je funkce rostoucí.
Ukázkový příklad
Sestrojte graf logaritmické funkce f:y=log2x. Určete definiční obor a obor hodnot.
Definiční obor funkce f je R+, protože hodnota logaritmu musí být x>0.
Nejprve sestrojíme pomocnou exponenciální funkci f′:y=2x (inverzní k f), s D(f′)=R:
| x | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 1/2 | 1 | 2 |
Tabulku pro f′ pak převrátíme (prohodíme řádky x a y) a dostaneme tabulku pro funkci f:
| x | 1/2 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | −1 | 0 | 1 |
Výsledek: H(f)=R
Příklady na procvičení
Příklad 1: Sestrojte graf funkce f:y=log1/4x. Určete H(f).
D(f)=R+. Protože a=41∈(0;1), funkce je klesající.
Výsledek: H(f)= R
Příklad 2: Sestrojte graf funkce f:y=log3x. Určete H(f).
D(f)=R+. Protože a=3∈(1;∞), funkce je rostoucí.
Výsledek: H(f)= R
Příklad 3: Sestrojte graf funkce f:y=log−2x. Určete H(f).
Výsledek: Základ a = −2 není v povoleném rozmezí (0;1) ∪ (1;∞) — logaritmus se záporným základem není definován. Příklad nemá řešení.
Posunutí logaritmické funkce
Zadaná funkce ve tvaru f:y=loga(x+m)+n se sestrojuje postupně, ve třech krocích:
- Základní funkce f1:y=logax — sestrojíme přes pomocnou exponenciální funkci (jako výše).
- Posun podél osy x: f2:y=loga(x+m). Je-li x+m, posuneme doleva o m; je-li x−m, posuneme doprava o m. Tímto posunem vzniká nová svislá asymptota (obrazně „nová osa y”).
- Posun podél osy y: f3:y=loga(x+m)+n. Je-li +n, posuneme nahoru o n; je-li −n, posuneme dolů o n.
Funkce f3=f je celý hledaný graf. Nakonec určíme D(f) a H(f) i mezikroků.
Ukázkový příklad
Sestrojte graf logaritmické funkce f:y=log1/3(x+1)−2. Určete definiční obory a obory hodnot.
D(f)=(−1;∞), protože musí platit x+1>0.
Základní funkce f1:y=log1/3x má D(f1)=R+, H(f1)=R.
f2:y=log1/3(x+1) — graf f1 posunutý o 1 doleva, nová asymptota v x=−1. D(f2)=(−1;∞), H(f2)=R.
f3:y=log1/3(x+1)−2 — graf f2 posunutý o 2 dolů.
Výsledek: D(f3)=(−1;∞)=D(f), H(f3)=R=H(f)
Příklady na procvičení (posunutí)
Příklad 1: Sestrojte graf funkce f:y=log1/3(x−2). Určete D a H všech funkcí.
Výsledek:
- f1:y=log1/3x posuneme o 2 doprava (nová asymptota v x=2) → f2=f
- D(f) = (2; ∞), protože musí platit x − 2 > 0
- D(f₁) = R⁺, H(f₁) = R
- D(f₂) = D(f) = (2; ∞), H(f₂) = H(f) = R
Příklad 2: Sestrojte graf funkce f:y=log4x−1. Určete D a H všech funkcí.
Výsledek:
- f1:y=log4x posuneme o 1 dolů → f2=f (žádný posun podél osy x, doména se nemění)
- D(f) = D(f₁) = D(f₂) = R⁺
- H(f₁) = R, H(f₂) = H(f) = R
Příklad 3: Sestrojte graf funkce f:y=log1/2(x−4)+3. Určete D a H všech funkcí.
Výsledek:
- f1:y=log1/2x posuneme o 4 doprava (nová asymptota v x=4) → f2, pak o 3 nahoru → f3=f
- D(f) = (4; ∞), protože musí platit x − 4 > 0
- D(f₁) = R⁺, H(f₁) = R
- D(f₂) = (4; ∞), H(f₂) = R
- D(f₃) = D(f) = (4; ∞), H(f₃) = H(f) = R
Shrnutí
- Předpis: f:y=logax; podle základu a má logaritmická funkce dva tvary — a∈(0;1) klesá, a∈(1;∞) roste.
- Logaritmická a exponenciální funkce jsou navzájem inverzní.
- Posunutí: f:y=loga(x+m) posouvá doleva (+m) nebo doprava (−m) a mění se definiční obor; f:y=logax+n posouvá nahoru (+n) nebo dolů (−n) a mění se jen graf, ne definiční obor.
Zdroje
HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6