Vzájemná poloha přímek a rovin v prostoru

Pozn. k obsahu: PDF odkazovalo na soubory pro program Cabri 3D (interaktivní geometrický software), které nejsou součástí archivu — úkoly 1–3 v první sekci proto nejde reprodukovat, ponechány jako historický záznam. V posledním cvičení se u dvou položek (b, e) při převodu poškodilo přesné značení bodů (pravděpodobně středů hran, značených dolním indexem S) — u nich je uvedený nejpravděpodobnější odhad s poznámkou.

O vzájemné poloze přímek v rovině jsme se už učili — mohou nastat tři případy:

1. rovnoběžné přímky — nemají žádný společný bod
2. různoběžné přímky — mají právě jeden společný bod
3. totožné přímky — mají všechny body společné

Vzájemná poloha přímek v prostoru

V prostoru může nastat ještě jeden, čtvrtý případ: přímky mimoběžné.

1. mimoběžné přímky — nemají žádný společný bod a neleží v jedné rovině
2. rovnoběžné přímky — nemají žádný společný bod a leží v jedné rovině
3. různoběžné přímky — mají právě jeden společný bod
4. totožné přímky — mají všechny body společné

Vzájemná poloha rovin v prostoru

Mohou nastat tři případy:

1. různoběžné roviny — mají společnou právě jednu přímku
2. rovnoběžné roviny — nemají společný ani jeden bod
3. totožné roviny — splývají (mají společné všechny body)

Vzájemná poloha přímky a roviny

Mohou nastat tři případy:

1. přímka různoběžná s rovinou — mají právě jeden společný bod
2. přímka rovnoběžná s rovinou — nemají žádný společný bod
3. přímka leží v rovině — mají nekonečně mnoho společných bodů

Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)

1. V programu Cabri 3D otevřete postupně soubory primky_1, primky_2, primky_3, primky_4 a rozhodněte o vzájemné poloze dvou přímek v těchto souborech.
2. V programu Cabri 3D otevřete postupně soubory roviny_1, roviny_2 a rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin v těchto souborech.
3. V programu Cabri 3D otevřete postupně soubory primka_rovina_1, primka_rovina_2 a rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny v těchto souborech.

Příklady

Je dána standardní krychle ABCDEFGH (spodní podstava ABCD, horní EFGH, hrana AE svislá). Určete vzájemnou polohu:

a) přímek AC a HF

Výsledek: mimoběžné — AC leží v dolní podstavě, HF v horní, neprotínají se ani nejsou rovnoběžné (úhlopříčky podstav svírají úhel, ale neleží ve stejné rovině)

b) přímek AB a EF

Výsledek: rovnoběžné — obě jsou to hrany krychle stejného směru, ve dvou různých rovnoběžných rovinách (podstavách)

c) přímek AB a GC

Výsledek: mimoběžné — AB leží v dolní podstavě, GC je svislá hrana, neprotínají se a nejsou rovnoběžné

d) přímky BG a roviny ADH

Výsledek: rovnoběžné — rovina ADH je levá stěna krychle (body A, D, H v ní všechny leží), přímka BG má směr rovnoběžný s touto stěnou, ale neleží v ní ani ji neprotíná

e) přímky BG a roviny procházející středy hran (přesné znění se v podkladu nedochovalo)

f) rovin ABC a DFG

Výsledek: různoběžné — obě roviny procházejí krychlí různými směry a protínají se v přímce

g) rovin ABF a DCG

Výsledek: rovnoběžné — jde o dvě protější svislé „diagonální” roviny krychle