Pozn. k obsahu: Většina zadání i řešení se dochovala v čitelné podobě (jde o klasické slovní úlohy v prostém textu). Zlomky ve výpočtech (např. “práce za 1 hodinu”, “z celku”) se místy rozpadly na prázdné mezery — u naprosté většiny šlo přesně rekonstruovat z kontextu a dochovaných mezivýsledků, přepočtem ověřeno. Úloha 2) odkazovala na obrázek trojúhelníku s barevně vyznačenými podíly plochy, který není součástí archivu — u ní zůstal jen fragment výpočtu.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Slovní úlohy řešené pomocí rovnice nebo soustavy rovnic
1) Pan Vlk má dvě zaměstnání: v prvním vydělává 400 Kč/h, ve druhém 300 Kč/h. V prvním stráví týdně o 10 hodin více a vydělá si tam dvakrát více. Kolik hodin týdně stráví v prvním zaměstnání?
Podzim 2012, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: 30 hodin.
Řešení: ve 2. zaměstnání x hodin (výdělek 300x), v 1. zaměstnání (x+10) hodin (výdělek 400(x+10)). Výdělek v 1. je dvakrát vyšší (pozor, ne naopak!): 400(x+10)=2⋅300x⟹400x+4000=600x⟹x=20. V 1. zaměstnání: x+10=30 hodin.
2) Vypočtěte v m² obsah trojúhelníku ABC. (Úloha odkazovala na obrázek s barevně rozdělenými podíly plochy, který není součástí archivu — z dochovaného fragmentu výpočtu vyplývá výsledná plocha 15 m², přesný postup dělení plochy nelze rekonstruovat.)
Jaro 2013, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: 15 m² (dochovaný fragment).
3) Linka pracovala první dva dny na 25 % výkon, další dva dny na 50 % výkon, pátý den na plný výkon; za 5 dní vyrobila 720 výrobků. Kolik výrobků se vyrobí za 5 dní při plném výkonu?
Jaro 2013, příklad č. 13. Body: 2. Výsledek: 1 440.
Řešení: plný denní výkon x: 0,25x+0,25x+0,5x+0,5x+x=720⟹2,5x=720⟹x=288. Za 5 dní při plném výkonu: 5⋅288=1,440.
4) Oddíl karate má 2× víc chlapců než dívek. Do chlapeckého družstva se nedostane 12 hochů, k dívčímu 1 chybí (obě družstva stejně početná). Kolik členů má oddíl?
Jaro 2013, příklad č. 14. Body: 3. Výsledek: 39 členů.
Řešení: dívek x, chlapců 2x: 2x−12=x+1⟹x=13. Celkem: 13+2⋅13=39.
5) V 1. čtvrtletí (leden–březen) firma vyvezla v poměru dílů 5+3+4=12 dílů, ve 2. čtvrtletí (duben–červen) 4+6+7=17 dílů. Rozdíl 5 dílů odpovídá 1 000 výrobků. Kolik výrobků vyvezla firma v 1. čtvrtletí?
Podzim 2013, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: 2 400.
(Pozn.: konkrétní měsíční čísla dílů pocházejí z grafu, který není součástí archivu — souhrnné hodnoty 12 a 17 dílů se ale dochovaly v textu.)
Řešení: 17−12=5 dílů =1,000 výrobků, tedy 1 díl =200 výrobků. 1. čtvrtletí (12 dílů): 12⋅200=2,400.
6) Mošt v 5l a 2l lahvích: celkem 216 l ve 60 lahvích. Kolik litrů bylo v 5litrových lahvích?
Podzim 2013, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: 160 litrů.
Řešení (rovnicí): 5l lahví x, 2l lahví (60−x): 5x+2(60−x)=216⟹5x+120−2x=216⟹3x=96⟹x=32. Mošt v 5l lahvích: 5⋅32=160 l.
Řešení (soustavou): 5x+2y=216, x+y=60. Vynásobením druhé rovnice (−2) a sečtením: 3x=96⟹x=32, y=28. Kontrola: 160+56=216 ✓.
7) Petr udělá práci sám za 6 h, Martin za 8 h. Nejdřív pracoval Petr, pak ho vystřídal Martin; dohromady trvalo 6,5 h. Jak dlouho pracoval Petr?
Jaro 2014, příklad č. 14. Body: 3. Výsledek: 4,5 hodiny.
Řešení: doba Petra x h, Martina (6,5−x) h. Petr za hodinu 61 práce, Martin 81 práce:
6x+86,5−x=1 /⋅24⟹4x+3(6,5−x)=24⟹4x+19,5−3x=24⟹x=4,5
8) Kolik výrobků druhé firmy získalo nejvyšší známku 1? (Úloha vycházela z tabulky s počty výrobků podle známek pro obě firmy — dochované hodnoty: 1. firma 6× známka 1, 10× známka 2, 4× známka 3; 2. firma 8× známka 2, celkem 20 výrobků.)
A) 4 B) 6 C) 8 D) jiný počet (7 výrobků) E) situace nemůže nastat
Jaro 2014, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: průměr 1. firmy: 206⋅1+10⋅2+4⋅3=2038=1,9. U 2. firmy: x výrobků se známkou 1, (12−x) se známkou 3 (z celkových 20 mínus 8 se známkou 2): průměr =20x+16+3(12−x)=2052−2x=1,9⟹52−2x=38⟹x=7.
9) Za správně vyřešenou úlohu +50 Kč, za chybnou −150 Kč. 20 úloh, Marek dostal 200 Kč. Kolik % vyřešil správně?
A) 70 % B) 75 % C) 80 % D) 85 % E) jiný počet
Podzim 2014, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: správně x: 50x−150(20−x)=200⟹50x−3000+150x=200⟹200x=3200⟹x=16. 16/20=80.
10) Standardní čajová směs (poměr 1:3, 40 g za 42 Kč), výběrová (poměr 1:1, 50 g za 60 Kč). Cena 10 g dražšího druhu čaje?
Jaro 2015, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: 15 Kč.
Řešení: ve standardní směsi je 10 g 1. druhu a 30 g 2. druhu; ve výběrové 25 g + 25 g. Cena 1 g: x (1. druh), y (2. druh): 10x+30y=42 /:2: 5x+15y=21; 25x+25y=60 /:5: 5x+5y=12. Odečtením: 10y=9⟹y=0,9; dosazením 5x+4,5=12⟹x=1,5. Dražší je 1. druh: 10⋅1,5=15 Kč.
11) Na koncert přišlo 800 osob, o čtvrtinu víc, než organizátoři očekávali. Kolik osob očekávali?
Podzim 2015, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: 640.
Řešení: x+41x=800⟹45x=800⟹x=640.
12) Levnější kalkulačka 585 Kč, dražší 630 Kč; celkem 60 kalkulaček za 35 910 Kč. Kolik zaplatila škola za levnější?
Podzim 2015, příklad č. 14. Body: 3. Výsledek: 24 570 Kč.
Řešení: levnějších x: 585x+630(60−x)=35,910⟹585x+37,800−630x=35,910⟹−45x=−1,890⟹x=42. Cena všech levnějších: 42⋅585=24,570 Kč.
13) Petrovi na knihu chybí 250 Kč, Radkovi přebývá 150 Kč. Radek má 3× víc peněz než Petr. Cena knihy?
Jaro 2016, příklad č. 14. Body: 3. Výsledek: 450 Kč.
Řešení: cena knihy x: Petr má (x−250) Kč, Radek (x+150) Kč. Radek má 3× víc (pozor, ne naopak): x+150=3(x−250)⟹x+150=3x−750⟹900=2x⟹x=450.
14) Bořek uspořil 11 000 Kč, Cyril třetinu průměru úspor Adama a Bořka. Všichni dohromady 3× víc než Adam. a) Kolik uspořil Adam? b) Kolik Cyril?
Podzim 2016, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: a) 7 000 Kč, b) 3 000 Kč.
Řešení: Adam a Kč. Cyril: 31⋅2a+11,000=6a+11,000. Dohromady 3× Adam (pozor, ne naopak):
a+11,000+6a+11,000=3a /⋅6⟹6a+66,000+a+11,000=18a⟹77,000=11a⟹a=7,000
Cyril: 67,000+11,000=3,000 Kč.
15) Dvě hromádky mincí (5Kč a 2Kč). 1. hromádka (32 mincí) obsahuje pětinu všech 5Kč a polovinu všech 2Kč mincí. 2. hromádka má zbylých 68 mincí. Hodnota všech mincí?
Jaro 2017, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: 380 Kč.
Řešení: celkem mincí 32+68=100. 5Kč mincí x, 2Kč mincí (100−x). Na 1. hromádce: 5x+2100−x=32 /⋅10⟹2x+5(100−x)=320⟹2x+500−5x=320⟹x=60. Hodnota: 60⋅5+40⋅2=380 Kč.
16) 12 učebnic němčiny + několik španělštiny stály stejně; španělština o 60 Kč dražší. Při 12+12 kusech by stálo 3 600 Kč. a) Cena němčiny? b) Kolik španělských učebnic koupeno?
Podzim 2017, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: němčina 120 Kč; 8 učebnic španělštiny.
Řešení: němčina x, španělština x+60: 12x+12(x+60)=3,600⟹24x+720=3,600⟹x=120; španělština =180 Kč. Skutečné množství: 12⋅120=y⋅180⟹1,440=180y⟹y=8.
Příklady z testů PUP a ilustračních testů Cermatu
1p) Houska je o třetinu levnější než bageta. 5 housek + 3 bagety =228 Kč. Cena 3 baget?
A) méně než 120 Kč B) 120 Kč C) 144 Kč D) více než 144 Kč E) nedostatek údajů
Jaro 2011 PUP, příklad č. 23. Body: 2. Výsledek: A (108 Kč).
Řešení: bageta x, houska =x−31x=32x: 5⋅32x+3x=228 /⋅3⟹10x+9x=684⟹x=36. 3 bagety: 3⋅36=108 Kč.
1i) Žaluzie celkem 2 650 Kč, žaluzie o 954 Kč dražší než instalace. Kolik % z částky tvoří instalace?
A) 42 % B) 37,5 % C) 36 % D) 32 % E) 26,5 %
2010 (2), příklad č. 13. Body: 2.
Řešení: instalace x: x+(x+954)=2,650⟹2x=1,696⟹x=848. 848:26,5=32.
2i) Neznámé číslo se zmenší o třetinu, pak ještě o 40; po vynásobení dvěma dostaneme původní číslo. Určete ho.
2012, příklad č. 3. Body: 2. Výsledek: 240.
Řešení: (x−3x−40)⋅2=x⟹32x−80=x /⋅3⟹2x−240=3x⟹x=240.
3i) Test A: 3× jednička, 8× dvojka, 9× trojka, 0× čtyřka (20 žáků). Test B má stejnou průměrnou známku, 9 trojek, 2 čtyřky. Průměrná známka testu A a počet jedniček v testu B?
2012, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: průměr 2,3; počet jedniček 7.
Řešení: xˉA=203⋅1+8⋅2+9⋅3+0⋅4=2046=2,3. Test B: jedniček x, dvojek (9−x) (aby součet byl 20): 20x+2(9−x)+27+8=2,3⟹2053−x=2,3⟹x=7.
4i) Martin jel se zájezdem, o rok později soukromě s Terezkou stejnou trasu — trvalo o 2 dny déle, protože denně ujeli o desetinu méně. Kolik dní trval zájezd?
A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) jiný počet
2012, příklad č. 21. Body: 2.
Řešení: dní se zájezdem x, denní trasa y; s Terezkou (x+2) dní, trasa 0,9y: xy=(x+2)⋅0,9y /:y⟹x=0,9x+1,8⟹0,1x=1,8⟹x=18.
5i) Součet dvou přirozených čísel je o 50 % větší než jejich rozdíl. Menší číslo je 15. Určete větší.
2013, příklad č. 14. Body: 3. Výsledek: 75.
Řešení: větší číslo x: rozdíl =x−15, součet =x+15. Součet je 150 rozdílu: x+15=1,5(x−15)⟹x+15=1,5x−22,5⟹37,5=0,5x⟹x=75.
6i) 4 osoby složí 240 beden o hodinu dřív než 3 osoby. Za kolik hodin to zvládnou 4 osoby?
A) 2 h B) 3 h C) 4 h D) 5 h E) jiný počet
2013, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: 4 osoby: x h; 1 osoba: 4x h; 3 osoby: 34x h =x+1: 34x=x+1 /⋅3⟹4x=3x+3⟹x=3.
7i) Kočky naplní sýpku samy za 2 h, kocouři za 5 h, myšky ji vyprázdní za 10 h. Kocouři pracovali sami 1 h, pak přišly kočky i myšky (současně) až do naplnění. a) Za jak dlouho se sýpka naplnila? b) Jakou část sýpky myšky rozkradly?
2014 (1), příklad č. 15. Body: 4. Výsledek: a) 2 h 20 min, b) 152.
Řešení: doba práce kocourů x h, koček a “protipráce” myšek (x−1) h:
5x+2x−1−10x−1=1 /⋅10⟹2x+5(x−1)−(x−1)=10⟹6x−4=10⟹x=37 h=2 h 20 min
b) myšky pracovaly (x−1)=34 h rychlostí 101 sýpky/h: rozkradly 34⋅101=304=152 sýpky.
8i) Janek nasbírá za 45 min půl kbelíku malin (tedy celý za 90 min), Eva celý kbelík za 60 min. Za jak dlouho naplní kbelík společně?
2014 (2), příklad č. 8. Body: 3. Výsledek: 36 minut.
Řešení: 90x+60x=1 /⋅180⟹2x+3x=180⟹x=36.
Soubor vzorových úloh Cermatu (2013)
1s) 2,5 kg meruněk + 1,5 kg broskví =85 Kč. Kilo broskví o 2 Kč levnější než meruňky. Kolik se zaplatilo za meruňky?
Kapitola 3, příklad č. 9. Výsledek: 55 Kč.
Řešení: kilo meruněk x: 2,5x+1,5(x−2)=85⟹2,5x+1,5x−3=85⟹4x=88⟹x=22. Za meruňky: 2,5⋅22=55 Kč.
2s) Anežka nasbírá kbelík borůvek za 2 h, Pepa naplní 31 kbelíku za hodinu (celý za 3 h). Za jak dlouho naplní kbelík společně?
A–E) hodnoty možností se nedochovaly
Kapitola 3, příklad č. 17. Výsledek: B.
Řešení: 2x+3x=1 /⋅6⟹3x+2x=6⟹x=56 h=1 h 12 min.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 13) Slovní úlohy řešené pomocí rovnice nebo soustavy rovnic.pdf.