Binomická věta

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky (postupně se odkrývající text), který se při převodu do textu ztratil. Zachoval se ale rozpočítaný příklad (a+b)⁴ i tabulka koeficientů — z toho šlo přesně rekonstruovat obecné znění binomické věty a vzorec pro k-tý člen rozvoje. Konkrétní zadání tří závěrečných úloh se nedochovala, nahrazena novými se stejným cílem.

Motivace — umocňování dvojčlenu

Spočítejme $(a + b) 4$ postupným násobením:

$(a + b) 4 = (a + b) 3 \cdot (a + b) = (a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3)(a + b)$

$= a 4 + 3 a 3 b + 3 a 2 b 2 + ab 3 + a 3 b + 3 a 2 b 2 + 3 ab 3 + b 4$

$= a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4$

Všimněme si koeficientů $1, 4, 6, 4, 1$ — to jsou přesně čísla ze 4. řádku Pascalova trojúhelníku! Stejně to funguje pro libovolnou mocninu:

Výraz	Rozvoj	Koeficienty
$(a + b) 1$	$a + b$	1 1
$(a + b) 2$	$a 2 + 2 ab + b 2$	1 2 1
$(a + b) 3$	$a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3$	1 3 3 1
$(a + b) 4$	$a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4$	1 4 6 4 1

Koeficienty v rozvoji $(a + b) n$ nejsou nic jiného než kombinační čísla $(n k )$ (viz Vlastnosti kombinačních čísel) — to je obsah binomické věty:

$(a + b) n = k =0 \sum n (n k ) a n - k b k = (n 0 ) a n + (n 1 ) a n -1 b + (n 2 ) a n -2 b 2 + \dots + (n n ) b n$

Např. pro $n = 4$ : $(40 ) = 1, (41 ) = 4, (42 ) = 6, (43 ) = 4, (44 ) = 1$ — přesně koeficienty $1, 4, 6, 4, 1$ výše.

Určení k-tého členu binomického rozvoje

Členy rozvoje $(a + b) n$ číslujeme od $T 1 $ (první člen odpovídá $k = 0$ ). Obecný, tzv. $(k + 1)$ -ní člen rozvoje je:

$T k +1 = (n k ) a n - k b k$

Tento vzorec je užitečný, když nás zajímá jen JEDEN konkrétní člen rozvoje a nechceme rozepisovat celý součet.

Příklad

Určete čtvrtý člen rozvoje $(x + 2) 6$ .

Čtvrtý člen odpovídá $k = 3$ (protože $T k +1 = T 4 \Rightarrow k = 3$ ), $n = 6$ , $a = x$ , $b = 2$ :

$T 4 = (63 ) x 6-3 \cdot 23 = 20 \cdot x 3 \cdot 8 = 160 x 3$

Úloha

1. Určete třetí člen rozvoje $(2 x - y) 5$ .

Výsledek: T₃ odpovídá k=2, n=5, a=2x, b=−y: T₃ = C(5,2)·(2x)³·(−y)² = 10·8x³·y² = 80x³y²

2. V rozvoji $(x + 3) 5$ určete koeficient u členu s $x 2$ .

Výsledek: x² znamená a^(n−k)=x^(5−k)=x² → k=3. Koeficient: C(5,3)·3³ = 10·27 = 270 (člen je 270x²)

3. Kolik členů má rozvoj $(a + b) 10$ ?

Výsledek: n+1 = 11 členů (index k probíhá od 0 do n=10, tedy 11 hodnot)

Zdroje

CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.